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103全國高中聯招

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103全國高中聯招

如附件~

103.6.2補充
公佈試題疑義結果
數學科 填充第4題 原公告答案\( 2x+9y=0 \) 更正為\( \cases{x=9t \cr y=-2t} \),\( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{10}}<t<\frac{1}{\sqrt{10}} \)

附件

103全國高中數學聯招試題.pdf (269.55 KB)

2014-5-31 12:02, 下載次數: 10536

103全國高中聯招疑義處理結果一覽表修正.pdf (78.67 KB)

2014-6-2 21:05, 下載次數: 7732

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單1:
法1:遞迴關係
P_n=0.8*P_(n-1)+0.6*[1- P_(n-1)]
得5*P_n= P_(n-1) +3
整理成P_n - 3/4= (1/5 )*[P_(n-1) - 3/4]
=.............=(1/5)^(n-1) *(P1-3/4)
P_n的極限值為3/4

法2:轉移矩陣
假設穩定後命中的機率為s ,不命中的機率為t
利用轉移矩陣性質可得0.8s+0.6t=s ,s+t=1
解出所求s=3/4
[註:這題的0.8若改a, 0.6改b ,所求=b/(1-a+b) ]

單2:
所求:首項=(1/2)*(2²-1²)=3/2,公比=1/16的無窮等比級數和
即(3/2) / [1-(1/16)] =8/5

單5:
令t=x-2 ,即求t²=2^t-----(*) 的實根個數
畫圖可知,當t>0時t=2,4 符合(*)解
當t<0也有一解,共3解

單6:
有名的錯排題目
秒殺做法:
若是n個人(n趨近無窮)
其答案為1/e約0.367879
(e約2.71828,就是歐拉數)

單7:
利用-1<=sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb<=1
得-3/2<=cosa*sinb<=1/2-------(1)
-1<=sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb<=1
得-1/2<=cosa*sinb<=3/2-------(2)
由(1)&(2)得-1/2<=cosa*sinb<=1/2

單8:
判別式D=(-a)²-4(a²-4)>0 ,a²<16/3
兩根a²-4<=0 , -2<=a<=2
a可能為-2,-1,0,1,2
a=-2代入方程式不合
(紅色處感謝Superconan 兄指正)

填1:
A的兩個矩陣都是旋轉矩陣,左邊(逆時針)轉90度,右邊(逆時針)轉300度
共轉390度, 先除以360 ,得餘數=30度
30*12=360 ,n最小值為12

填4:
4x^2+9y^2=36 兩端對x微分
得8x+18y*(dy/dx)=0
dy/dx = -4x/(9y) = 2
所求為2x+9y=0

計1:
法1:配方法
x=4-2t ,y=t ,z=-2+t (t為實數)
代入x²+y²+z²=(4-2t)²+t²+(t-2)²
=6t²-20t+20
當t=5/3時,所求=10/3 有最小值
(註:這題若亂用科西不等式會錯)

法2:向量內積
假設直線L為三平面的交線
則L的方向向量t=(-2,1,1)
P(4-2t ,t ,-2+t)在L上,O(0,0,0)
所求為OP²的最小值,此時向量OP垂直方向向量t
兩向量內積為0, 即 -2(4-2t)+t+(-2+t)=0,解得t=5/3
再算OP²=10/3

法3:距離公式+正餘弦定理
(過程省略,因為有點複雜~還是不要用這招)

計3:
n²+103n+2014= [(2n+103)²-2553]/4
改為證明(2n+103)²-2553不為8000的倍數
因為2n+103為奇數,(2n+103)²個位數必為1或5或9
所以(2n+103)²-2553個位數不會有0,不為8000的倍數

計4:
先證sina*cosa為有理數 [利用 (sina+cosa)²=1+2sina*cosa ]
再用歸納法證明:
(sina)^n +(cosa)^n=(sina+cosa)[(sina)^(n-1)+(cosa)^(n-1)]- (sina*cosa)[(sina)^(n-2)+(cosa)^(n-2)]
為有理數~

考古題:
多12
填7
...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-1 12:06 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-31 12:56 PM 發表
感謝橢圓兄提供題目:

計算4:
\({{a}_{n+2}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{n+1}}-\left( \frac{{{a}_{1}}^{2}-1}{2} \right)\cdot {{a}_{n}}\), 利用強數學歸納法可得證

沒看到橢圓兄已更新本題,速度太快了XD ...
沒關係啦~
連po幾題,喘口氣~
先把解題棒子交給您們~

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引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-31 02:25 PM 發表
填充6:
\({{a}^{\log ax}}={{b}^{\log bx}}\Rightarrow \left( \log ax \right)\log a=\left( \log bx \right)\log b\Rightarrow \log x=-\left( \log ab \right)\Rightarrow x=\frac{1}{ab}\), 故
所求為\({{\left(  ...
這題題目出的不錯~
您也解得很漂亮

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引用:
原帖由 Superconan 於 2014-5-31 09:28 PM 發表
單8:
判別式D=(-a)²-4(a²-4)>0 ,a²<16/3
兩根和a²-4<=0 , -2<=a<=2
a可能為-2,-1,0,1,2
a=-2代入方程式不合

請問為什麼 " 兩根和a²-4<=0 , -2<=a<=2 "
又怎麼知道只有-2代入不合,需要五個答案都檢查嗎?
是兩根"積",那時打太快
大概只要檢查a=-2 及2
因為不確定兩個解乘積是"0*正數"還是"0*負數"

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-31 10:38 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 smartdan 於 2014-5-31 07:51 PM 發表
我猜55左右~ 去年60左右~ 
今年感覺起來比去年難~ 所以猜55
去年102年進複試分數/總報名人數
A區 67分/312人
B區 65分/311人
C區 71分/380人

今年103考題雖比去年稍難
但只有A,B兩區,考的人數變多
A區 410人
B區 570人
小弟預測A區60~68分,B區65~73分

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引用:
原帖由 sun 於 2014-6-1 11:32 AM 發表
請問一下答案是不是錯了   2pi-答案才是對的阿
102 年北門高中填充17也是同樣的題目阿,為什麼答案不同啊!  我浪費超多時間在這邊
答案沒有錯
"102 年北門高中填充17"他是減去中心角為θ的扇形~
103這題可以用下面方式算比較快~
假設圓錐高為h,體積為V,底部圓形半徑為r
則2π r=Rθ , θ =2π r/R--------(1)
V=(1/3)π r² h= (π/3)*(R²-h²)*h= (π/3)*(R²h-h^3)
V'=(π/3)*(R²-3h²)=0 ,V有最大值,此時h²=R²/3
r²=R²-R²/3=(2/3)R²代入(1)
θ=2√6*π/3

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-1 11:56 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 tsusy 於 2014-6-2 11:39 AM 發表
填 4. 為什麼疑義之後,答案還是不對 (雖然我之前也算錯了)

t  的範圍不是應該正負對稱,t(−110110)  這樣才對嗎?
他打錯了 (下午去看已更正了)
在端點時,割線變切線, 而弦中點也變成切點了~(極限概念)
想想看這兩個端點要不要算?

其實題目只要出"這些點落在哪一條直線上?" (畫圖易知)
這樣就很好改答案了~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-2 08:54 PM 編輯 ]

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全國可以開始查成績囉~~

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刪文

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-6-4 12:58 編輯 ]

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