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103全國高中聯招

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回復 1# Ellipse 的帖子

感謝橢圓兄提供題目:

計算4:
\({{a}_{n+2}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{n+1}}-\left( \frac{{{a}_{1}}^{2}-1}{2} \right)\cdot {{a}_{n}}\), 利用強數學歸納法可得證

沒看到橢圓兄已更新本題,速度太快了XD

填充第3題:先整理個一般化的情況

令\(R=\left( \begin{matrix}
   \cos \theta  & -\sin \theta   \\
   \sin \theta  & \cos \theta   \\
\end{matrix} \right)\), 表示以原點為中心逆時針繞\(\theta \)角的旋轉矩陣;
\(M=\left( \begin{matrix}
   \cos \phi  & \sin \phi   \\
   \sin \phi  & -\cos \phi   \\
\end{matrix} \right)\), 表示對直線 \(y=\left( \tan \frac{\phi }{2} \right)x\) 鏡射的鏡射矩陣,則
(1) (先旋轉後鏡射)
    \[MR=\left( \begin{matrix}
   \cos \left( \phi -\theta  \right) & \sin \left( \phi -\theta  \right)  \\
   \sin \left( \phi -\theta  \right) & -\cos \left( \phi -\theta  \right)  \\
\end{matrix} \right)\] 合成後即為對直線\(y=\left( \tan \frac{\left( \phi -\theta  \right)}{2} \right)x\)鏡射
(2) (先鏡射後旋轉)
    \[RM=\left( \begin{matrix}
   \cos \left( \phi +\theta  \right) & \sin \left( \phi +\theta  \right)  \\
   \sin \left( \phi +\theta  \right) & -\cos \left( \phi +\theta  \right)  \\
\end{matrix} \right)\] 合成後即為對直線\(y=\left( \tan \frac{\left( \phi +\theta  \right)}{2} \right)x\)鏡射
本題為(1) 之情形,將\(\theta =80{}^\circ ,\phi =30{}^\circ \)代入 得到所求直線為 \(y=\tan \left( -25{}^\circ  \right)x\),
應題目要求將角度調成\(155{}^\circ \), 故選(C)

又沒看到興傑兄已經在 #12講解了本題XD,也請參考興傑兄的更直觀的圖形看法

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 07:49 PM 編輯 ]

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回復 1# Ellipse 的帖子

複選10:
\(2\log a-\log b=-4\Rightarrow a={{\left( \frac{b}{100} \right)}^{2}}\in \mathbb{N}\Rightarrow \left. 100 \right|b\), 令b=100k, 再由a的範圍知
\(3600000<{{b}^{2}}<4000000\Rightarrow 360<{{k}^{2}}<400\Rightarrow k=19\Rightarrow a=361\), 選(A)(B)


複選12:
(A) 由二項式定理可看出
(B) \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n}}\cdot {{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{n}}={{7}^{n}}={{a}_{n}}^{2}-2{{b}_{n}}^{2}\Rightarrow \frac{{{7}^{n}}}{{{b}_{n}}^{2}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{b}_{n}}^{2}}-2\)
    左式極限為0, 故\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{b}_{n}}^{2}}=2\), 由\({{a}_{n}},{{b}_{n}}>0\)知 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\sqrt{2}\)
(C) \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{n+1}}=\left( 3{{a}_{n}}+2{{b}_{n}} \right)+\left( {{a}_{n}}+3{{b}_{n}} \right)\sqrt{2}\) 故\({{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}\), \({{b}_{n+1}}={{a}_{n}}+3{{b}_{n}}\)
(D) \({{m}_{n}}=\frac{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}=\frac{{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}}{2{{a}_{n}}+2{{b}_{n}}}=\frac{\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}+2}{2\cdot \frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}+2}\to \frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+2}\ne \sqrt{2}\) as \(n\to \infty \)

故答案為ABC ~有計算錯煩請指證

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 04:28 PM 編輯 ]

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填充6:
\({{a}^{\log ax}}={{b}^{\log bx}}\Rightarrow \left( \log ax \right)\log a=\left( \log bx \right)\log b\Rightarrow \log x=-\left( \log ab \right)\Rightarrow x=\frac{1}{ab}\), 故
所求為\({{\left( ab \right)}^{\log \left( abx \right)}}=a{{b}^{\log 1}}=1\)

\(ab\ne 1\)條件拿掉對答案應該也無傷大雅,還是只是不想讓考生猜XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 02:41 PM 編輯 ]

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回復 9# Ellipse 的帖子

橢圓兄~我今天還在思索你的"凡德爾夢"行列式中XD

推理了橢圓兄的單選6的秒殺做法:
n個人的錯排機率為 \(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\ldots +{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{n!}\), 取極限後
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\ldots +{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{n!} \right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k!}}={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}\approx 0.367879\)

取n=10時誤差已經很小了~故選擇0.35
原來如此,又學了一招必殺,沒想過還真的不知道XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-31 03:44 PM 編輯 ]

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填充5:
看起來挺嚇人,但畫個圖後好像也還好:
令A,B到平面E2的垂足分別為M,N, 則
\(\overline{DN}=\sqrt{{{\overline{BD}}^{2}}-{{\overline{BN}}^{2}}}=\sqrt{{{\overline{BD}}^{2}}-{{\overline{AM}}^{2}}}=\sqrt{{{\overline{BD}}^{2}}-\left( {{\overline{AC}}^{2}}-{{\overline{CM}}^{2}} \right)}=\sqrt{{{41}^{2}}-\left( {{40}^{2}}-{{12}^{2}} \right)}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15\)

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回復 15# Superconan 的帖子

因為在算\({{b}_{n}}^{2}\)的過程中會產生項 \({{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{2n}}={{\left( 11+6\sqrt{2} \right)}^{n}}>{{7}^{n}}\), 做比值後極限為0

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回復 19# wrty2451 的帖子

好做法,我也提供一個類似的想法,
先排好兩位俄國人,考慮台灣人的位置之後再把美國人放入,
同國籍的人先不排列:
考慮這個形狀    "  (a)  俄  (b)  俄 (c) "
(說明) 若台灣人放入 (a) , (b) , 則形狀變為  "台  俄  台  俄 ",
           考慮衍伸出來的5個空隙xyzuv 如下所示
           x 台 y 俄 z 台 u 俄 v
          此時三位美國人只能放在x的位置,方法數為 1, 以下依此規則分類:

(1)  若台灣人放入" (a) , (b) " 或  "(b), (c)" ,方法數為 2        (103.06.20 感謝 martinofncku 勘誤)
(2)  若台灣人放入" (a) , (c) ", 則方法數為 \(H_{3}^{2}=4\)
(3)  若台灣人均放入 "(a)" 或 "(c)" , 則方法數為 \(2\cdot H_{3}^{2}=8\)
(4)  若台灣人均放入 "(b)",  則方法數為 1
故所求為 \(\left( 2+4+8+1 \right)\cdot \left( 2! \right)\cdot \left( 2! \right)\cdot \left( 3! \right)=360\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-20 11:36 AM 編輯 ]

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回復 24# tsusy 的帖子

橢圓兄的神招真的很多,思考的過程中也增添了許多樂趣,
努力學習這些招式中。

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回復 29# marina90 的帖子

可以啊~這方法很好,小弟只是偷懶才用那種方式算
基本觀念也是基於這個正統方式延伸的。

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回復 33# Ellipse 的帖子

感謝橢圓兄和寸絲兄將這一題解得很完美

小弟來個小整理:
以傳統作法發現此軌跡為一條橢圓內部的線段,若將兩切點視為退化的弦中點(只是一種看法,定義中切點仍不是弦中點),故此線段的延伸必過兩切點,故只需求出過兩切點的直線方程式再考慮範圍即可。
令切點座標為\(\left( a,b \right)\), 使用隱函數微分求解 \({{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{\left( x,y \right)=\left( a,b \right)}}=\frac{-4a}{9b}=2\Rightarrow 2a+9b=0\), 故兩切點均在直線\(2x+9y=0\)上,最後用參數式表示答案:
\(\left\{ \begin{align}
  & x=9t \\
& y=-2t \\
\end{align} \right.,t\in \left( \frac{-1}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}} \right)\)

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