填充第10題：
小弟用土法煉鋼，先利用規律做出\(f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)\)的圖形：
先觀察到\(f\left( \left[ 0,1 \right] \right)=\left[ 0,1 \right]\), 然後求出函數圖形的折點在於絕對值內部為0之處，即\(f\left( x \right)=0\), \(f\left( f\left( x \right) \right)=0\), \(f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)=0\)之處，求出折點為\(x=\frac{1}{8},\frac{2}{8},\ldots ,\frac{7}{8}\)共7個，加上定義域端點\(x=0,1\) 後用直線連接得到\(f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)\)在\([0,1]\)的圖形為4個V字形(抱歉我沒有用圖，各位可畫畫看)，故所求答案為8個解。

故本題為函數圖形的迭代，f(x)的圖形在[0,1]為1個V字，f(f(x))的圖形在[0,1]為2個V字，f(f(f(x)))的圖形在[0,1]為4個V字,.....
迭代n次的函數\({{f}^{(n)}}\left( x \right)\) 在[0,1]為\({{2}^{n-1}}\)個V字(連續排列)，故此時交點個數為\({{2}^{n}}\)個

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-26 03:43 PM 編輯 ]

做一下13題：
由勘根知此有理根介於(0,1)之間，
又由牛頓一次因式檢驗法知有理根之可能值為\(\frac{k}{2},\left. k \right|480\)
故有理根只可能為 \(\frac{1}{2}\)

填充第7題：
希望小弟能解釋得很好XD：
首先，男女生各挑2人配對，男女二人的配對方式有2種：\(C_{2}^{3}\cdot C_{2}^{3}\cdot 2\)
再來考慮剩下來的男女生各1位能配對的方式有(扣除這一對也配成功1種)：\({{3}^{2}}-1\)
相乘即為所求 144

計算第2題：
寸絲兄在前面有提示了，即證明 \(\overline{\text{PB}}\text{:}\overline{\text{PD}}\text{=}1:2\) 即可
不失一般性，考慮單位圓且令\(A(1,0),B(\frac{1}{2},0),D(2,0),P(cos\theta ,sin\theta ),\,\,\,\theta \in \left( 0,2\pi  \right)\backslash \{\pi \}\)
則 \(\overline{\text{PB}}\text{:}\overline{\text{PD}}\text{=}\sqrt{\frac{5}{4}-\cos \theta }:\sqrt{5-4\cos \theta }=1:2=\overline{\text{BA}}\text{:}\overline{\text{AD}}\), 證畢

考慮這個圖也可以喔~

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-29 08:45 AM 編輯 ]

鋼琴老師您客氣了~我想我應該還要學學怎麼用軟體作圖XD

橢圓兄你做得圖真的是沒話講，
慚愧，GGB我會的就是按按上面的紐XD
看來我應該也要來惡補一下，感恩

#4：
Cal 1. show \({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2014}}+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}\in \mathbb{N}\) and \({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}\) is very small
利用二項式定理展開：
\({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2014}}+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}=2\left( \sum\limits_{k=0}^{1007}{C_{2k}^{2014}\cdot {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2k}}\cdot {{\left( \sqrt{2} \right)}^{2014-2k}}} \right)=2\left( \sum\limits_{k=0}^{1007}{C_{2k}^{2014}\cdot {{3}^{k}}\cdot {{2}^{1007-k}}} \right)\in \mathbb{N}\).
顯然 \({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}\in \left( 0,1 \right)\) 而且\({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}<0.1\), 故
\({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2014}}=2\left( \sum\limits_{k=0}^{1007}{C_{2k}^{2014}\cdot {{3}^{k}}\cdot {{2}^{1007-k}}} \right)-{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2014}}>2\left( \sum\limits_{k=0}^{1007}{C_{2k}^{2014}\cdot {{3}^{k}}\cdot {{2}^{1007-k}}} \right)-0.1\)
所以小數點第一位數字為9

填充6：
延長BC與MD設交於E, 則由全等不難得知BE=BM, 由孟氏定理，
\(\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BE}{CE}\cdot \frac{CD}{DA}=1\Rightarrow \frac{AM}{MB}\cdot \frac{MB}{CE}\cdot \frac{BC}{AB}=1\Rightarrow CE=\frac{1}{2}BC\Rightarrow BC=\frac{2}{3}BE=\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-17 12:50 PM 編輯 ]

因為BD為角B的平分線，由內分比得知