填充第2題：
只能提供庶民法：
因這題統計的範圍涵蓋全班，故以下我所用的估計全以母體為基準
假設全班有n人，每個人的選擇題為x分，計算題為y分，則根據題意，
\(\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{n}=52,\frac{\sum{{{y}_{i}}}}{n}=18,\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{x}_{i}}^{2}}-{{52}^{2}}}=8,\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{y}_{i}}^{2}}-{{18}^{2}}}=15\), 可推知
\(\frac{\sum{{{x}_{i}}^{2}}}{n}={{8}^{2}}+{{52}^{2}},\frac{\sum{{{y}_{i}}^{2}}}{n}={{15}^{2}}+{{18}^{2}}\) 及每個人的數學平均 \(\frac{\sum{\left( {{x}_{i}}+{{y}_{i}} \right)}}{n}=70\)
又由相關係數已知 \(0.6=\frac{\frac{1}{n}\sum{\left( {{x}_{i}}-52 \right)\left( {{y}_{i}}-18 \right)}}{8\cdot 15}\Rightarrow \frac{\sum{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}}{n}=18\cdot 56\)
故所求為\[\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{\left( {{x}_{i}}+{{y}_{i}} \right)}^{2}}}-{{70}^{2}}}=\sqrt{\frac{\sum{{{x}_{i}}^{2}}}{n}+\frac{\sum{{{y}_{i}}^{2}}}{n}+\frac{2\sum{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}}{n}-{{70}^{2}}}=\sqrt{433}\]

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-25 09:34 PM 編輯 ]

填充第7題：
考慮黎曼和，原式為
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\frac{2}{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\ldots +\frac{n}{n}\sqrt{1+\frac{n}{n}} \right)=\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{1+x} \right)dx}=\int_{0}^{1}{\left( {{\left( 1+x \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{2}}} \right)dx}=\frac{4\left( \sqrt{2}+1 \right)}{15}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-25 09:49 PM 編輯 ]

寸絲兄還是一如以往的殺~~你早一些些我也不用打那麼長了XD

昨天晚上看到這必殺後就一直在玩味這個神奇的結果
跟寸絲兄所說的依樣，可以用線代的觀點去詮釋

有興趣的可以參考以前我很喜歡的一個線代的網站：線代啟示錄
http://goo.gl/JwYZrf  ：從線性變換解釋最小平方近似
http://goo.gl/VaqcpS ：相關係數
http://goo.gl/4wwPCw ：樣本平均數、變異數和共變異數
裡面有提到寸絲兄所說的一些重要觀念

BTW，利用寸絲兄提示的公式推導的過程中
\(Cov\left( X+Y,X+Y \right)=Cov\left( X,X \right)+2Cov\left( X,Y \right)+Cov\left( Y,Y \right)\)得到了
\(Var\left( X+Y \right)=Var\left( X \right)+Var\left( Y \right)+2Cov\left( X,Y \right)\), 是以前統計常用的公式(慚愧，忘得差不多了囧…) 將這個公式套入本題也有一些妙用，所求
\[Var\left( X+Y \right)=Var\left( X \right)+Var\left( Y \right)+2\cdot {{r}_{xy}}\cdot {{\sigma }_{x}}\cdot {{\sigma }_{y}}={{8}^{2}}+{{15}^{2}}+2\cdot \left( 0.6 \right)\cdot 8\cdot 15=433\]

答案即為\(\sqrt{433}\), 其實也是借花獻佛，換湯不換藥而已XD

橢圓兄真的很貼心，有時覺得圖片一貼出來算式似乎也可以不用打了(Calculate without word?)XD
小弟比較偷懶，用代數去做：
先觀察\(z=\frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow \left| {{z}^{k}} \right|={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}\) 且\(\left| z-1 \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
原式 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| {{z}^{k+1}}-{{z}^{k}} \right|}=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| {{z}^{k}} \right|\left| z-1 \right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

利用\(\Delta =\det \left( \begin{matrix}
   0 & {{3}^{n}} & {{\left( \sin 2\theta  \right)}^{n}}  \\
   {{\left( 1+\sec \theta  \right)}^{n}} & 0 & 1  \\
   -1 & {{\left( 1+\csc \theta  \right)}^{n}} & 0  \\
\end{matrix} \right)=0\)
也可以得到鋼琴老師那神奇的式子
\({{\left( 1+\sec \theta  \right)}^{n}}{{\left( 1+\csc \theta  \right)}^{n}}=\frac{{{3}^{n}}}{{{\left( \sin 2\theta  \right)}^{n}}}\)

令\({{z}_{1}}=\cos \alpha +i\sin \alpha ,{{z}_{2}}=\cos \beta +i\sin \beta ,{{z}_{3}}=\cos \gamma +i\sin \gamma \)
則\({{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0\), \(\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}=\frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{1}{{{z}_{2}}}+\frac{1}{{{z}_{3}}}=0\Rightarrow \frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}=0\Rightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}=0\)
故\({{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right)=0\), 可推知
\(\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =0\)

其實就是鋼琴大的方法，只是移項的方式不同XD