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一題利用托勒密定理的證明題

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抱歉懶得弄一個比較好看的圖

連接EF,FG,EG, 由圓內接四邊形AEGF中
由托勒密定理知 \(\overline{AE}\cdot \overline{FG}+\overline{AF}\cdot \overline{EG}=\overline{AG}\cdot \overline{EF}\)
另,由圓周角相等可推知 三角形EFG相似於三角形CAB
, 若令\(t=\frac{\overline{AB}}{\overline{FG}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EG}}=\frac{\overline{CA}}{\overline{EF}}\), 則
\(\overline{AC}\cdot \overline{AG}=\left( t\overline{EF} \right)\cdot \overline{AG}=t\left( \overline{AE}\cdot \overline{FG}+\overline{AF}\cdot \overline{EG} \right)=\left( t\overline{FG} \right)\cdot \overline{AE}+\left( t\overline{EG} \right)\cdot \overline{AF}=\overline{AB}\cdot \overline{AE}+\overline{AD}\cdot \overline{AF}\)

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