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103復興高中

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hua0127 兄的答案是對的
整理一下算式

x = 201,[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 2010
x = 202,[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 2020
故 201 < x < 202

令 x = 201 + y (0 < y < 1)
[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 201 * 10 + [2y] + [3y] + [4y] = 2014
[2y] + [3y] + [4y] = 4

(1) 0 < y < 1/2
[2y] + [3y] + [4y] ≦ 0 + 1 + 1 = 2,不合

(2) 1/2 ≦ y < 2/3
[2y] + [3y] + [4y] = 1 + 1 + 2 = 4,合

(3) 2/3 ≦ y < 1
[2y] + [3y] + [4y] ≧ 1 + 2 + 2 = 5,不合

故 201又(1/2) ≦ x < 201又(2/3)

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回復 19# Ellipse 的帖子

謝謝!組合想法好清楚

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回復 21# thepiano 的帖子

鋼琴老師這樣寫有系統多了~受教!!

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\([x]+[2x]+[3x]+[4x]=2014\),求\(x\)的範圍

這裡有類題
\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(\( x \in R \))。試求滿足\( [\; x ]\;+[\; 2x ]\;+[\; 3x ]\;+[\; 4x ]\;=2004 \)之x的範圍。  
(93北一女中數學科競試,h ttp://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/932t-1a.pdf連結已失效)

對任意實數\(x\),以符號\([\;x ]\;\)表示小於或等於\(x\)的最大整數。求滿足\([\;a ]\;+[\;2a ]\;+[\;4a ]\;+[\;8a ]\;=100\)的最小的實數\(a\)。
(2008TRML個人賽)

For any real number t, denote by [t] the greatest integer which is less than or equal to t. For example:\( [\;8]\;=8 \),\( [\; \pi ]\; = 3 \), and\( \displaystyle [\; \frac{-5}{2} ]\; \) = -3. Show that the equation \( [\; x ]\;+[\; 2x ]\;+[\; 4x ]\;+[\; 8x ]\;+[\; 16x ]\;+[\; 32x ]\;=12345 \) has no real solution.
(Canada National Olympiad 1981,http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1981)

證明不存在實數\(x\),使得\([x]+[2x]+[4x]+[8x]=147\)。
(106羅東高中,https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html)

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回復 24# bugmens 的帖子

這沒有做過,壓根不會注意到這麼細的地方。
高斯函數真的是一個痛。

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回復 1# johncai 的帖子

提供以下3題..但第7不太確定...順便請教一下怎麼思考...感恩^^
1. p,q為實數, x^{3}-px+q=0 ,有3實根. 若 a為一根,證明  - 根號 (4P/3) <= a <= 根號 (4P/3)3. 就a,b,c,d 為實數,且a不為0,就a,b,c,d關係討論ax^3+bx^2+cx+d 和ax^3+dx^2+cx+b的最高公因式情形
7. 三角錐D-ABC 底面為正三角形ABC, D在三角形ABC中心正上方,相鄰2側面的2面角  2m  (還是 m??)
  底面中心到側面稜邊的距離OE=1 ( E在DB上...有圖),設t=tan m  ,以t表D-ABC體積

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回復 26# natureling 的帖子

1. 最公高因式,可以用輾轉相除法處理,兩個多項式相減會得 \( (b-d)x^2 - (b-d) \)

當 \( b =d \) 時,兩多項式完全相同,最高公因式,就是自己本身

當 \( b \neq d \) 時,其最高公因式必為 \( x^2 -1 \) 之因式,以因式定理檢驗之

再以  \( x^2 - 1 \) 除 \( ax^3+bx^2+cx+d \) 可得 \( (a+c)x + (b+d) \),再用因式定理檢查 \( x^2-1 \) 和 \( (a+c)x+b+d \)的公因式

若 \( a+c = b+d \),則 \( x+1 \) 為公因式

若\( a+c = -(b+d) \),則 \( x-1 \) 為公因式

再用以上兩個條件分類可產生 4 種情形,再加上先前 \( b=d \) 的情況,總有 5 (種可能)類
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 26# natureling 的帖子

請問自然兄~第1題的p是否大於0?

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回復 28# hua0127 的帖子

好像沒有..=.=...

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回復 29# natureling 的帖子

設3實根為\(a,b,c\), 則
\(a+b+c=0,ab+bc+ca=-p\), 故
\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2p\) (\(\ge 0\)?), 由柯西不等式
\(\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\ge {{\left( b+c \right)}^{2}}\Rightarrow 2\left( 2p-{{a}^{2}} \right)\ge {{\left( -a \right)}^{2}}\) 移項得到\({{a}^{2}}\le \frac{4p}{3}\)
當p為非負時,可推得\(a\in \left[ -\sqrt{\frac{4p}{3}},\sqrt{\frac{4p}{3}} \right]\)
不知道這樣寫有沒有遺漏什麼?

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-16 08:59 AM 編輯 ]

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