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96台南女中資優班成就測驗

25.
令  \(x^2-ax+3a=0 \) 之兩根為 \(\alpha, \beta\)
可得 \( \begin{cases}
\alpha +\beta = a \\
\alpha \beta = 3a \\
\end{cases}
\)
兩式 消掉 \(a\) 可得 \(\alpha \beta - 3 (\alpha + \beta)=0\)
強迫分解可得 \( (\alpha-3) ( \beta - 3) =9 \)
又 \(a>0 , \Rightarrow \alpha, \beta >0\) 且為整數
\( (\alpha-3 ,  \beta - 3 )=(1,9),(9,1),(3,3) \)
\(\Rightarrow (\alpha,  \beta )=(4,12),(12,4),(6,6) \)
\(\Rightarrow a=\alpha+\beta = 16\) or \(12\)

[ 本帖最後由 HDY 於 2014-5-12 11:13 AM 編輯 ]

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* 這是角A!! Orz 為什麼出不來  \[\angle{A} \]

\[ \angle CAD+\angle BAC=90{}^\circ =\angle ABF+\angle BAC\Rightarrow \angle CAD=\angle ABF\Rightarrow \triangle DEA \sim \triangle AFB\]

令 \[\overline{AB}=5t,\ \overline{BF}=3t,\ \overline{AF}=4t\Rightarrow \overline{CF}=3+7-4t=10-4t\]
利用 \[{{\overline{AB}}^{2}}+{{\overline{AD}}^{2}}={{\overline{BC}}^{2}}+{{\overline{CD}}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{\left( 5t \right)}^{2}}+{{5}^{2}}=\underbrace{{{\left( 3t \right)}^{2}}+{{\left( 10-4t \right)}^{2}}}_{{{\overline{BC}}^{2}}={{\overline{BF}}^{2}}+{{\overline{CF}}^{2}}}+{{\left( \sqrt{65} \right)}^{2}}\]
可解得 \[t=\frac{\ 7\ }{4}  \Rightarrow \overline{BF}=3t=\frac{\ 21\ }{4} \]

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