請教第3題, 四邊形內一點到四個邊的距離平方和的最小值
謝謝

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-11 08:14 PM 發表
第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1

原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式

答案是 -27/2

鋼琴師:
不知哪裡算錯,我的答案為27/2
令w=cosθ+isinθ, 所求為27/1-w的實部

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-12 06:30 AM 發表

S = 1 + 2w + 3w^2 + ... + 27w^26
wS = w + 2w^2 + ... + 26w^26 + 27w^27
(1 - w)S = 1 + w + w^2 + ... + w^26 - 27
S = -27/(1- w)

謝謝鋼琴師
我自己太大意

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-12 08:18 PM 發表
計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19

謝謝鋼琴師

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-12 08:18 PM 發表
計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19

敢問鋼琴師
四面體 ABCD 的體積為 8√3
這是如何算出? 今天忙了一整天都沒弄出頭緒來

不好意思,再度打擾你

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-13 09:16 PM 發表

先畫一個邊長 5 cm 的菱形 ABCD，其中對角線 BD = 4
沿 BD 把 △ABD 折起來，讓 AC = 6

作 AE 垂直 BD 於 E，則 CE 也垂直 BD 於 E (E 點也是原本菱形對角線之交點)
AE = CE = √(5^2 - 2^2) = √21

令平面 ABD 和平面  ...

謝謝鋼琴老師
我的作法是以一5,5,6為xy平面,頂點為(a,b,c),利用距離求出高c的值,問題我求的b值為0, 不知哪裡弄錯
所以上來請教老師,我又學到一個新方法,
謝謝

引用:

原帖由 sorze 於 2014-5-13 11:12 PM 發表
以邊長為5.5.6的三角形為底
連連看後中間會有個邊長為4的正三角形
此三角形的高就是以5.5.6為底四面體的高

sorze師,我原先的作法與你相似
         但我沒發覺有邊長為4的正三角形
        我還用去設頂點座標去解頂點的c值,謝謝提醒

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-14 04:34 PM 發表
本題也可用最小值發生在重心時，所求的結果為
\(\frac{1}{4}\Bigg( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{AD} \right\|}^{2}}+\) ...

請問hua老師,這個公式怎麼得到的?
我google都沒找到
若是平面上三角形,若內部一點到其三頂點的距離平方和也是三邊長的平方和在除以3?
謝謝

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-7-26 08:30 PM 發表
抱歉晚了一點回復，小弟這幾天去休息了一下

導的方式應該很多，例如可用GA+GB+GC+GD=0 (這邊是表示向量相加得到零向量，G表重心) 然後掛絕對值平方整理得到此公式

另外如您所說，平面上三角形的情況及為3邊長平方和相加 ...

謝謝hua老師