填1:考古題
填5:仿指考考題

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-11 01:56 PM 發表
第2題
好像是用二元的算幾證明三元的算幾
可借道四元的算幾

共有幾種方法呢?
法1:科西不等式
a,b,c>0
(a²+b²+c²)*(b²+c²+a²)>=(ab+bc+ca)²   (科西不等式)
得(a²+b²+c²)>=(ab+bc+ca)----------------(1)
又(a+b+c)²
>=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
>=3(ab+bc+ca)  by(1)
所以(a+b+c)^3>=3(a+b+c)*(bc+ca+ab)
>=3[√abc+√abc+√abc]²=27abc   (科西不等式)
可得(a+b+c)/3 >= (abc )^(1/3)

法2:歸納法

法3:微分法

法4:琴生不等式

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 03:26 PM 編輯 ]

請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法1:
令P(sinx,cosx) ,A(-2,0)
即求PA斜率之最大值
(如附件圖)

法2:
令cosx/(2+sinx) =k
整理疊合,找振幅範圍
可求出k範圍~

法3:
令cosx=(1-t^2)/(1+t^2) ,sinx=2t /(1+t^2) 代入f(x)
寫成t函數,微分求最大值~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 09:02 PM 編輯 ]

請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法4:
令f(x)=ln (sinx+2)
f '(x)=cosx/(sinx+2)
所求即找f '(x) 的最大值
即f(x)斜率的最大值
如附件的圖

如何找f '(x)最大值?留給網友討論~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 09:27 PM 編輯 ]

請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法5:
令cosx=a ,2+sinx=b , a/b=m
則sinx=b-2 ,a=bm
又a²+(b-2)²=1-------(1)
將a=bm代入(1)
整理得(m²+1)b²-4b+3=0--------(2)
因為b為實數,所以(2)的判別式D>=0
16-12(m²+1)>=0
整理得-√(1/3)<= m <= √(1/3)



還會有多少種解法呢?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-12 09:14 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-11 08:14 PM 發表
第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1

原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式

答案是 -27/2

考古題~
99南區國中
100全國高中聯招都考過~

請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法6:
法1的另解(法1通常用點到直線距離公式)
假設P在x²+y²=1上 ,A(-2,0)
即求PA斜率之最大值
令PA 斜率為m
利用圓的切線公式:y=mx(+-) √(m²+1)--------------------(1)
以及PA直線為(y-0)/(x+2)=m , y=mx+2m----------------(2)
因(1)=(2)
所以2m=(+-) √(m²+1)
4m²=m²+1
m=(+-) √(1/3)