第 6題
95台中一中和102景美女中考過

第5題
102松山工農

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 01:50 PM 編輯 ]

第2題
好像是用二元的算幾證明三元的算幾
可借道四元的算幾

第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1

原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式

答案是 -27/2

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 08:45 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 arend 於 2014-5-12 02:43 AM 發表
不知哪裡算錯,我的答案為27/2
令w=cosθ+isinθ, 所求為27/1-w的實部

S = 1 + 2w + 3w^2 + ... + 27w^26
wS = w + 2w^2 + ... + 26w^26 + 27w^27
(1 - w)S = 1 + w + w^2 + ... + w^26 - 27
S = -27/(1- w)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-12 06:32 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 arend 於 2014-5-12 12:50 AM 發表
請教第3題, 四邊形內一點到四個邊的距離平方和的最小值

是四面體內一點到四個面的距離平方和的最小值嗎？

計算第 3 題
(1)
△ABC 面積為 P
△ABD 面積為 Q
△ACD 面積為 R
△BCD 面積為 S

P 到平面 ABC 的距離 = a
P 到平面 ABD 的距離 = b
P 到平面 ACD 的距離 = c
P 到平面 BCD 的距離 = d

四面體 ABCD 的體積為 V

則 (Pa + Qb + Rc + Sd)/3 = V
(Pa + Qb + Rc + Sd)^2 = 9V^2
(P^2 + Q^2 + R^2 + S^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) ≧ (Pa + Qb + Rc + Sd)^2
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ≧ (9V^2)/(P^2 + Q^2 + R^2 + S^2)

剩下的就是找出四面體體積和四個面的面積了

110.7.25補充
已知點\(P\)為邊長為\(\sqrt{2}\)的正四面體\(ABCD\)內的任意一點，\(P\)到四個面的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)、\(d_4\)，則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\)的最小值為何？(A)\(\displaystyle \frac{1}{12}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{16}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(110全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3530-1-1.html)

計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19

引用:

原帖由 arend 於 2014-5-13 08:07 PM 發表
四面體 ABCD 的體積為 8√3
這是如何算出?

先畫一個邊長 5 cm 的菱形 ABCD，其中對角線 BD = 4
沿 BD 把 △ABD 折起來，讓 AC = 6

作 AE 垂直 BD 於 E，則 CE 也垂直 BD 於 E (E 點也是原本菱形對角線之交點)
AE = CE = √(5^2 - 2^2) = √21

令平面 ABD 和平面 CBD 的夾角 ∠AEC = θ
AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2 * AE * CE * cosθ
cosθ = 1/7
sinθ = (4/7)√3

四面體的高 = AE * sinθ = (12/7)√7

體積 = (1/3) * △CBD * (12/7)√7 = (1/3) * 2√21 * (12/7)√7 = 8√3

計算第 3 題
(2) 延續第 (1) 小題的做法

定座標
P(x，y，z)
A(0，(-1/7)√21，(12/7)√7)
B(-2，0，0)
C(0，-√21，0)
D(2，0，0)

PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2
= x^2 + [x - (-2)]^2 + x^2 + (x - 2)^2 + [y - (-1/7)√21]^2 + y^2 + [y - (-√21)]^2 + y^2 + [z - (12/7)√7]^2 + z^2 + z^2
+ z^2

最小值出現在
x = [0 + (-2) + 0 + 2]/4 = 0
y = [(-1/7)√21 + 0 + (-√21) + 0]/4 = (-2/7)√21
z = [(12/7)√7 + 0 + 0 + 0]/4 = (3/7)√7

所求 = 8 + 102/7 + 108/7 = 38

David 老師的方法很漂亮，不像小弟常用暴力解

以△ABC為底，若 AC 中點是 E，則△BDE是邊長 4 的正三角形
設 BD 中點為 F，David 老師的中垂線長就是 EF = 2√3