我個人最喜歡的是用ln(x)為凹函數(加負號的琴生不等式)：
\[\ln \left( \frac{x+y+z}{3} \right)\ge \frac{1}{3}\left( \ln x+\ln y+\ln z \right)\]
(也適用於n個的情況)
但三個的算幾也可以這樣做：

分析：
\({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\left( xy+yz+zx \right) \right)\)
\(\text{=}\frac{1}{2}\left( x+y+z \right)\left( {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}} \right)\ge 0\), 故
\({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}\ge 3xyz=3\sqrt[3]{{{x}^{3}}{{y}^{3}}{{z}^{3}}}\)
做變數變換並且改寫一下說明的順序即可
(注意這邊所有的變數都是正數)

本題也可用最小值發生在重心時，所求的結果為
\(\frac{1}{4}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{AD} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{BC} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{BD} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{CD} \right\|}^{2}} \right)=38\)
的方式求，補充一下。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-14 04:40 PM 編輯 ]

仿寸絲兄的簡潔寫法，若沒手殘算錯的話XD

解 \(\left[ \frac{1}{2}\log x-1 \right]=\left[ 3-\log x \right]-2\), 將常數提出來整理得到
\(\left[ \frac{1}{2}\log x \right]-\left[ -\log x \right]=2\), 令\(t=\frac{1}{2}\log x\), 解\(\left[ t \right]-\left[ -2t \right]=2\),
得到\(\frac{1}{2}<t<1\)  故\(10<x<100\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-20 01:22 AM 編輯 ]

首先觀察到\(f\left( t \right)=\left[ t \right]-\left[ -2t \right]\) 為遞增函數，然後
當\(t\ge \frac{1}{2}\), \(f(t)\ge f(\frac{1}{2})=1\)；當 \(t\le 1\), \(f(t)\le f(1)=3\)
將端點去掉時即為所求，故可推知 \(\frac{1}{2}<t<1\Rightarrow f\left( t \right)=2\)

希望這樣能幫到你解惑

抱歉晚了一點回復，小弟這幾天去休息了一下

導的方式應該很多，例如可用GA+GB+GC+GD=0 (這邊是表示向量相加得到零向量，G表重心) 然後掛絕對值平方整理得到此公式

另外如您所說，平面上三角形的情況及為3邊長平方和相加在除以3

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-26 08:32 PM 編輯 ]