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103中正高中

回復 3# thepiano 的帖子

計算5. 這題之前被學生問過,是 2014amc12#23

最短循環節長度為 \( n \) 的話,應該寫作 \( 0.\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0} \)

不想做除法的話,計算 \( n \) 可以用擴分的方式 \( 99^2 \times A = 99\ldots 99 \)

而得 \( 99 \times A =10101 \ldots 01 \) 可推得右式為 99 個 1,再推 \( 99 \ldots 99 \) 就是 198 個 9,所以 \( n =198 \)

再看等號的個位數可得 \( A \) 的個位數 \( a_0 =9 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-11 08:27 PM 編輯 ]
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回復 15# GGQ 的帖子

填9. 這個方法當然是 OK,思考上很有趣

但是計算 T 或 S 的期望值,會是一件比較簡單的事嗎?

提供一個計算方法

\( E(S)=\sum\limits _{k=1}^{49}P(x\geq k)=\sum\limits _{k=1}^{49}\frac{C_{2}^{50-k+1}}{C_{2}^{50}}=\sum\limits _{k=2}^{50}\frac{C_{2}^{k}}{50\cdot49}=\frac{C_{3}^{51}}{C_{2}^{50}}=17 \)。

又 \( E(T+S)=\frac{1+50}{2}\cdot2=51 \Rightarrow E(T)=34 \)。

因此 \( E(T-S)=34-17=17 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-12 11:55 AM 編輯 ]
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回復 17# hua0127 的帖子

計算 3. 以遞迴方式求解,令 \( a_{n} \) 表示派出 \( n \) 個人的坐法數,則 \( a_{1}=3 \), \( a_{2}=3^{2}-2=7 \)。

\( n+2 \) 人的坐法中,看依兩人分成以下5類

親XXXXX 有 \( a_{n+1} \) 種

國親XXXX 有 \( a_{n} \) 種

國國XXXX 見下下行
民民XXXX 見下行
民親XXXX,三類合併有 \( a_{n+1} \) 種

\( a_{n+2}=2a_{n+1}+a_{n} \), \( \left\langle a_{n}\right\rangle :\,3,7,17,41,99,239,577,\ldots \)。

故 7 人時, \( a_7 = 577 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-12 05:18 PM 編輯 ]
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回復 1# natureling 的帖子

填充 7. 它不是拋物線,而是雙曲線的一支。

將以通過 \( \overleftrightarrow{AB} \) 的直線,繞 \( \overleftrightarrow{AO} \) 軸旋轉,會轉出上下兩個圓錐

平面和兩圓錐,上下各交出一段曲線,正是雙曲線的由來。

另外,似乎中正高中很喜歡圓錐截痕 100、101二招,也都考了圓錐截痕

100中正高中:右圖為一直圓錐,\( \triangle ABC \) 為正三角形,底圓的圓心為 \( O \),且 \( \overline{AO}\perp\overline{BC} \)。今一過 \( O \)  點的平面與直圓錐之截痕為拋物線,此拋物線的頂點為 \( S \),此拋物線的焦點為 \( R \),試找出 \( R \) 點的位置,並證明之。
答. \( R \) 在 \( \overline{OS} \) 上,且 \( \overline{OR}:\overline{RS}={\color{red}3:1} \)。



101中正高中2招:如圖,直圓錐頂點為 \( A \), \( \overline{BC} \) 為底面的直徑,\( O \) 為圓心,\( \overline{AD}=\overline{CD},\,\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BC}=4 \),若 \( \overline{AC} \) 的垂直平分面過 \( D \) 點截圓錐得一截痕,則此截痕圖形正焦弦長為 ________。
答. \( \frac{4}{\sqrt{3}} \)。



99中正高中:在底面半徑為 6 的圓柱內,有兩個半徑也為 6 的球面,其球心距為 13。今有一平面與這兩球面相切,且與圓柱面相交成一橢圓,則這個橢圓的長軸與短軸長之和為 ________ 。
答. 25

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-15 10:14 PM 編輯 ]
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回復 1# natureling 的帖子

填充 11. 先提供個類題

100桃園聯招:在一可任意旋轉的正八面體的八個面塗上黃綠紅三色,請問二黃、二綠、四紅的情形共有幾種?

答. 22 種

當初我是用伯氏引理作用(Burnside's Lemma),把它拿去 Google,出來 Wikipedia 唯一的應用例子剛好就是中正高中這題。

這個方法,在這裡寫出來,我想意義不大,看不懂的還是一樣霧裡看花,有興趣的自行去看吧。

至於有沒有其它好方法,我也不曉得...

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 01:58 PM 編輯 ]
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回復 43# marina90 的帖子

計算3 中,國、民對稱,可互換,所以 (2~4) 合併也可以

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-20 01:28 PM 編輯 ]
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回復 48# panda.xiong 的帖子

計算5. 補充說明:其是只是簡單的餘數問題

\( 111111111 \):連續 1 ,被 9 整除者,最少是 9 個 1

\( 01010101...01  \):同理,有 \( n \) 個 01,會有 \( 010101...01 \equiv n \) (Mod 99)

所以最少要 \( 99 \) 個 01
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回復 51# cfyvzuxiz 的帖子

那個操作是擴分,不會有不合的問題在,例

\( \frac{1}{11} = \frac{9}{99} = \frac{909}{9999} \)

要用哪個分數,看成無窮等比之和,寫成循環小數,結果都是 \( 0.\overline{09} \)

而循環節的長度,就是最小的那一個
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回復 45# hua0127 的帖子

wrty2451、hua0127、Ellipse 三位老師,兩種解法,我都想不到

敝人不才只好來一個無賴的猜答案

當 \( x \approx 0, \sin x = x, \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)

故 \( \sin 6^\circ \approx \frac{\pi}{30} \approx 0.104 \), \( \cos 12^\circ \approx 1 - 2 \times (0.104)^2 \), \( \sin 12^\circ \approx 0.208, \cos 6^\circ \approx 1 - \frac12 (0.104)^2 \)

而得 \( \displaystyle \frac{1+\sin6^{\circ}+\cos12^{\circ}}{\cos6^{\circ}+\sin12^{\circ}}\approx\frac{2.082}{1.203}\approx1.731 \)

故猜答案 \( \sqrt{3} \)
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回復 58# 阿光 的帖子

填4. 假設只解出 \( A,B,C \) 其一者分別有 \( a,b,c \) 人,恰解出 \( B, C \) 兩題者有 \( d \)  人,

則 \( \frac{b+d}{c+d}=2\Rightarrow b=2c+d, a=b+c=3c+d \)

總人數為 \( 25=a+(a-1)+b+c+d=9c+4d-1 \)

\( (c,d) \) 有唯一的正整數解 \( (2,2) \),故所求 \( b=6 \)。
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