填充題 8 揣摩 57# martinofncku 老師的作法如下。
已知 △ABC 的三邊長 a, b, c 和面積 S 滿足關係式 S = a² - (b - c)²，且 b+c = 8，則 △ABC 的面積 S 的最大值為?
解:
S = (a+b-c)*(a-b+c) ... (1) 由型式聯想到海龍公式:
4S = √ [ (a+b+c)*(-a+b+c)(a-b+c)*(a+b-c) ] ... (2)
為了化簡並保有所求的 S，作 (2)² ÷ (1)
16S = (a+b+c)*(-a+b+c) = 64 - a² = 64 - S - (b - c)²
⇒ 17S = 64 - (b - c)² ≤ 64
⇒ 當 b = c 時，面積 S 有最大值 64/17。
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另一個構思:
S = a² - (b - c)² 的右式有餘弦定理的元素，故改寫為:
S /2bc = [a² - (b - c)²] /2bc = - cosA + 1
⇒ (1/4)*sinA = - cosA + 1，又 sin²A + cos²A = 1
⇒ sinA = 8/17
由算幾不等式，S = (1/2)*bc*sinA ≤ (1/2)*16*(8/17) = 64/17 (當 b = c 時取等號)。
