12.
在整數列\(\displaystyle \left[\frac{1^2}{103}\right],\left[\frac{2^2}{103}\right],\left[\frac{3^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{k^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{103^2}{103}\right]\)中，共有　　　個互不相等的整數(其中符號[]為高斯符號)。
[解答]
做一下填 12.，
\( \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] \),
\( 53^{2}=52^{2}+103+2, \left[\frac{53^{2}}{103}\right]=27+\left[\frac{26+2}{103}\right] \)
\( 54^{2}=53^{2}+103+4, \left[\frac{54^{2}}{103}\right]=28+\left[\frac{26+2+4}{103}\right] \)
\( 55^{2}=54^{2}+103+6, \left[\frac{55^{2}}{103}\right]=29+\left[\frac{26+2+4+6}{103}\right] \)
...
\( 103^{2}=102^{2}+103+102 , \left[\frac{103^{2}}{103}\right]=77+\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right] \)

所求 \( =103+1-\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right]=78 \)。

說明如下：上面的算式計算有幾個相鄰項的差為 2，這些相鄰的差為 2，就產生某個正整數被跳過而沒有出現。

\( (k+1)^2 - k^2 = 2k+1 \)，當 \( k \leq 52 \)，分子增加不到 103，相鄰項的差至多為 1

而 \( k \geq 53 \) 的情況，我們將第 k 項寫成 \( \left[\frac{k^{2}}{103}\right]=(k-26)+\left[\frac{}{103}\right] \)

每次至少增加 1，而當後方的 [ ] 也增加 1 時，就會增加 2。

而後方的 [ ] 如同 \( k \leq 52 \) 之情況，不會產生增加 2，不是加 0 就是加 1

故計算其在 \( k =103 \) 之值為 26，便知這些相鄰項的差有 26 個為 2。

因此從 0~103 的整數中，有 26 個被跳過，所求 = \( 103 + 1 -26 =78 \)。

填 12. 做完發現，其實沒有這麼複雜，做到 \( k=52 \)，其實就完成了後，因為 \( k\geq 53 \) 後每項皆相異

故所求 = \( 1 + \left[ \frac{52^2}{103} \right ] + (103 -52) = 78\)

計算1.
已知橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的焦點為\(F_1,F_2\)，直線\(L\)通過\(F_1\)且與橢圓交於\(A,B\)兩點，
(1)求\(\Delta F_2AB\)的周長。
(2)求\(\Delta F_2AB\)面積的最大值。
[解答]
計算1(2)，我的切入點在線性變換，先把橢圓變成圓 \( x^2 + y^2 =a^2 \)

新的弦以 \( \overline{A'B'} \) 表示之，假設其與 \( \overline{F_1F_2} \) 的夾角為 \( \theta \)

以 \( \theta \) 表示三角形面積可得 \( \triangle F_2A'B' = \frac12 \times 2c \times 2\sqrt{a^2-c^2\sin^2\theta} \sin\theta \)

令 \( t = \sin^2 t \)，則上式平方為 \( \triangle'^{2}=4c^{2}(a^{2}t-c^{2}t^{2}) \)

當 \( \frac{a^{2}}{2c^{2}}\leq1 \) 時，\( \sin^{2}\theta=t=\frac{a^2}{2c^{2}} \) 時有最大值，開根號再壓扁得最大面積為 \( ab \)

當 \( \frac{a^{2}}{2c^{2}}>1 \) 時，\( \theta=\frac{\pi}{2}, t=1 \) 時有最大值，壓扁回橢圓時，該弦就是正焦弦，最大面積為 \( \frac{2b^2c}{a} \)

回復 10# leo790124 的帖子
是我不小心寫錯，已修正為 \(\displaystyle \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] \)，
也就是 \( 52^2 = 103 \times 26 + 26 \)

填2.
已知\(x,y\in R\)，\(x^2+y^2=25\)，試求\(\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\)的最大值為　　　。
[解答]
我是用了凸函數不等式，對任意 \( a, b>0 \)，不等式 \( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} \) 恆成立

以 \( (a,b) = (8y-6x+50, 8y+6x+50) \) 代入得

\( \frac{\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}}{2}\leq\sqrt{\frac{16y+100}{2}}=\sqrt{8y+50}\leq\sqrt{90} \)

因此 \( \sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\leq6\sqrt{10} \)

兩個 \( \leq \) 在 \( (x,y)=(0,5) \) 時，等號同時成立

故最大值為 \( 6\sqrt{10} \)

回復 13# Pacers31 的帖子

填11.
已知\(\Gamma\)為\(y=ax^3+bx(a>0,b>0)\)，原點\(O\)為其反曲點，射線\(\vec{OA}\)在第一象限交\(\Gamma\)於\(A\)點。若\(P\)為曲線段\(OA\)上一點，且以\(P\)為切點的切線與\(\overline{OA}\)平行，則\(\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=\)　　　。
[解答]
透過伸縮變換，面積比保持不變，故不失一般性可假設曲線方程式為 \( y=x^3+x \)

然後做相同的積分

填4.
將21個相同的球全部放入3個不同的袋子，若每袋至少一球，且任二袋球數和大於第三袋球數，則球數的安排方案共有　　　種。
[解答]
也可以用重覆組合做

\( H_{18}^{3}-C_{1}^{3}\cdot H_{8}^{3}=C_{18}^{20}-3\cdot C_{8}^{10}=55 \)

其中 \( H_{18}^3 \) 代表至少一個任意分，而 \( H_{21-11-1-1}^3 \) 代表某一個 \( \geq 11 \) 使另兩個相加少於多的這袋，不符合題意要求，需扣除

這樣有轉就不就等於沒轉，算的方法還是一模一樣

計算 2. 沒算錯話，應該是 \(\displaystyle 3^{-\frac{1}{5}}<m\le27 \)

\( m = 27 \) 的時候，該式不是 \( x \) 的二次，不能用判別式判斷

1. 我做的是線性變換，在這個操作下，才會有面積比的事，所以 \( (\pm c,0) \) 還是被對應到  \( (\pm c,0) \)
只是這兩個點不是焦點而已，但這不重要，重要的是面積。

2. \( \frac12 底 \times 高 \)，以 \( \overline{A'B'} \) 為底，高是另一原焦點到此弦的距離
(05.13更正上行原錯誤，紅字處)

3. \( t \) 二次式配方求極值，壓扁也只是乘一個常數 \( \frac ba \)

10.
設四面體的六條稜線中有五條稜長為2，另一條稜長為\(a\)。若當\(a=k\)時，此四面體有最大體積\(V\)，則數對\((k,V)=\)　　　。

\( k \) 是 \( \sqrt{6} \) 沒錯，但是不是忘記錐體體積要除以 3 了？

回復 40# leo790124 的帖子
畫個圓，在直徑上對稱的地方點兩個點代表原焦點位置，過其中一個點拉一條弦，弦的兩端點和另一焦點連線，形成三角形
這張圖自己畫，應無困難才是

另外，一直沒有回覆，是因為你不說，我也不知你哪裡不懂，我也不知道要從何講起

寫的不好，是大家不嫌棄，因為沒有其他人寫的關係。

興傑兄，如果寫完了，也可以自己去蕪存菁，只留精華，相信會更厲害！