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103大直高中

4.
有一球S:\( x^2+y^2+(z-1)^2=1 \)與一點\( P(0,3,2) \),過P作此球的切線,交xy平面的點形成一拋物線,求正焦弦長。
[解答]
我借用99育成高中第7題的動畫來解釋球與xy平面相交的點為什麼是焦點,所以P點和本題意義不同。

(1)\( \overline{PD},\overline{PF} \)都是圓的切線,得到\( \overline{PD}=\overline{PF} \)
(2)\( \overline{PD} \)是圓錐上母線的其中一段,移動到上方
(3)\( \overline{PD} \)平移到\( \overline{PE} \),得到\( \overline{PD}=\overline{PE} \)
由(1)(3)可知\( \overline{PF}=\overline{PE} \),圖形為拋物線,F為焦點,V為頂點,L為準線


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x軸從螢幕延伸而出,只畫出y,z軸
設切線方程式為\( z-2=m(y-3) \),圓心\( (0,1) \)到直線的距離為1,解得\( \displaystyle m=0,\frac{3}{4} \),頂點為\( \displaystyle V(\frac{1}{3},0) \)
焦點為\( F(0,0) \),正焦弦長\( \displaystyle \frac{4}{3} \)



5.正十二面體
[解答]



\( \displaystyle \frac{R}{r}=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{cos54°+cos18°}{cos18°}=\frac{(4cos^318°-3cos18°)+cos18°}{cos18°}=4cos^218°-2 \)
\( \displaystyle =4(1-sin^218°)-2=2-4sin^218°=2-4(\frac{\sqrt{5}-1}{4})^2=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \)

103.10.19補充
仿幾何原本從正六面構造正十二面體
張海潮/臺灣大學數學系(退休)
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/R ... 3-957c-f073af77dd61

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-10-19 09:48 PM 編輯 ]

附件

正12面體的內外接正立方體SketchUp檔.rar (125.11 KB)

2014-4-30 08:25, 下載次數: 9230

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