剛剛做這份考題，看到填充題第四題，有種好熟悉的感覺。
原來是前年考上教師甄選那年，隨身筆記本，把不會的題目都寫下來。
我印象中這題目是出自於舊版的高中數學101。
紅筆那個部分，就是我覺得這個題目的思考關鍵。
紅色那個部分為何最關鍵，\(f(k - 1) \le f(k)\;,\;f(k) \ge f(k + 1)\)，只要你寫出幾組組合數，
例如 1,2,1    1,3,3,1   1,4,6,4,1....你就會發現當中間附近那個會最大


例：投擲一粒公正骰子50次，1點出現次數為r次的機率為\( P_r \)，當\( P_r \)為最大值，則其r之值為？
\( \displaystyle P_r=C_{r}^{50}(\; \frac{1}{6} )\;^6 (\; \frac{5}{6} )\;^{50-r}=\frac{C_r^{50}5^{50-r}}{6^{50}} \)
只需求\( f(r)=C_r^{50}5^{50-r} \)的最大值即可。

①\( f(r+1)\le f(r) \)
⇒\( \displaystyle C_{r+1}^{50}5^{49-r}\le C_r^{50}5^{50-r} \)

⇒\( \displaystyle \frac{50!}{(r+1)!(49-r)!}5^{49-r} \le \frac{50!}{r!(50-r)!}5^{50-r} \)

⇒\( \displaystyle \frac{1}{r+1} \le \frac{5}{50-r} \)⇒\( r \ge 7點多 \)

②另外\( f(r-1) \le f(r) \)
⇒\( \displaystyle C_{r-1}^{50}5^{51-r} \le C_r^{50}5^{50-r} \)

⇒\( \displaystyle \frac{50!}{(r-1)!(51-r)!}5^{51-r} \le \frac{50!}{r!(50-r!)}5^{50-r} \)

⇒\( \displaystyle \frac{5}{51-r} \le \frac{1}{r} \)⇒\( 5r \le 51-r \)⇒\( r \le 8點多 \)

故\( r=8 \)有最大值

填充題第五題
28樓和2樓的答案怎麼不一樣?
誰對?

............................
剛剛我自己解了一次，二樓答案對~~
一起來偵錯，看看28樓哪裡發生錯誤

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 04:35 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 David 於 2014-5-1 12:11 PM 發表
填充第五題, 我算的答案和二樓的大大不同, 貼出來想和各位請教一下, 是哪裏有問題??

所求為\(g(\frac{1}{2})\). 將\(x=\frac{1}{2}\)代入二式, 得
$$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}+\int_0^2g(\frac{1}{2})dx=\frac{3} ...

我覺得問題出在\(f(x) = x + 1 + \int_0^2 {g(x)dx} \),→\(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 1 + \int_0^2 {g(\frac{1}{2})dx} \)

\(\frac{1}{2}\)不可以這樣直接帶入。\(\int_0^2 {g(x)dx} \) 積分完之後是一個定值，這是一個定積分。

原本被積分函數是\(g(x)\)，那樣帶入變成對常數 \(g(\frac{1}{2})\)積分。
希望這回答，對你有幫助。

5.
令\( \int_{0}^{1}f(x)dx=a \)，\( \int_{0}^{2}g(x)dx=b \)
\( \displaystyle \cases{\int_0^1f(x)dx=\int_0^1(x+1)dx+\int_0^1 b dx⇒a=\frac{1}{2}+1+b \cr
\int_0^2 g(x)dx=\int_0^2 (2x-3)dx+\int_0^2 a dx⇒b=4-6+2a} \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{2} \)，\( b=-1 \)
\( \displaystyle g(x)=2x-3+\frac{1}{2}=2x-\frac{5}{2} \)
所求\( \displaystyle g(\frac{1}{2})=2(\; \frac{1}{2} )\;-\frac{5}{2}=\frac{-3}{2} \)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 09:35 AM 編輯 ]

例：投擲一粒公正骰子50次，1點出現次數為r次的機率為Pr，當Pr為最大值，則其r之值為？

給個公式:  (請網友自行證明)
(a+b)^n ,一般項為C(n,r)*(a)^(n-r) * b^r---------(*)
令t=a/b  , m=[ (n+1) / (t+1)] (下高斯)
(i)當 (n+1) / (t+1) 為"非整數" , r=m 使得(*)有最大值
(ii)當 (n+1) / (t+1) 為"整數" , r=m 與r=m-1使得(*)有最大值

例: (5/6 +1/6)^50
n=50 ,a=5/6 ,b=1/6 ,t=5
m=[(n+1)/(t+1)] = [51/6] =8
r=8 使得(*)有最大值

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-10 06:22 PM 編輯 ]

Ellipse 老師  
針對填充題第六題，我本來想看看有沒有其他解法。
結論 投降
沒有更好的方法。這個題目設定就是要從幾何圖形出發，我剛剛想用代數，三角函數，複數，想辦法圖形架在座標平面上，給定座標。未必好解。因為我要假設出很多變數。這個題目的\(AC=BC+BI\)等於是設計好的。接受記住這個輔助線的做法。我會再來說服自己，為何要這樣做。

基本上我還是使用輔助線的方法，我換個脈絡來思考。以下是我的想法，供大家參考
想法
從內心可以推出那個角度和是78度
想辦法找出 這兩個角度關係。內心條件已經用了。剩下就是AC=BC+BI
看看可以證明出三角形全等，或是相似嗎?這樣角度之間就有個連結。
為了這個目的，才搭起做(BC延長線)輔助線的想法。為了到達河的對岸。這樣你會記憶比較牢靠
我不喜歡上課，天外飛來一筆，告訴學生做輔助線。很突兀的起頭...

填充第6題.gif (3.61 KB)

2014-5-10 20:36

①
I是內心，所以\( ∠ABI=∠CBI=\alpha \)。
　　　　　　\( ∠BAI=∠CAI=\theta \)。
\( 2 \theta+2 \theta+24^o=180^o \)⇒\( \theta+\alpha=78^o \)
②
作\( \overline{BK}=\overline{BI} \)
\( \overline{BI}+\overline{BC}=\overline{AC} \)⇒\( \overline{BK}+\overline{BC}=\overline{AC} \)⇒\( \overline{KC}=\overline{AC} \)
\( ΔAIC=ΔKIC \)
∴\( ∠IKB=∠CAI=\theta \)
\( ΔIBK \)為等腰三角形∴\( \alpha=2\theta \)
③
\( \theta+\alpha=\theta+2\theta=3\theta=78^o \)⇒\( \theta=26^o \)
∴\( ∠BAC=52^o \)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 09:40 AM 編輯 ]

這題目我看到時候，考古題有考過，就是用同餘理論去證明。
如果考場上沒有直接想出來是用 \(mod 8\)，用\(mod 4\)可以證明出來嗎??

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-11 11:06 AM 發表
用\(mod 4\)可以證明出來嗎??

a、b、c 是三奇數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3 (mod 4)
7d^2 ≡ 0 or 3 (mod 4)
在這裡就會卡住 ...

謝謝。一卡住趕緊換\(mod 8\)證明

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) + 3abc\]
針對計算題第四題，就是要使用乘法公式來解。如果善用乘法公式，這個題目可以解得很快。
上面這個乘法公式。前年考上教師甄選那年，這個公式有特別去記，但久沒用。還是忘記了。
剛剛在做計算題第四題。。擔心考場公式忘記。自己換個方式思考，推導了一次
\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c} \right)^3} = 1{\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c + 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {c^3} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}
\end{array}\)
下面這步就是關鍵整合了
\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {b + c + a - a} \right) + {b^2}\left( {c + a + b - b} \right) + {c^2}\left( {a + b + c - c} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {a + b + c} \right) + {b^2}\left( {a + b + c} \right) + {c^2}\left( {a + b + c} \right) - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)} \right\}
\end{array}\)
剩下就是分別把題目給的條件給帶入，找出其他需要的條件
這樣在考場，不會因為沒有記公式，題目白白放掉了

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 02:00 PM 編輯 ]

興傑兄，這個公式小弟以前也有背過，但每年都會忘冏
我自己是用另一個我比較熟悉的公式去推：

\({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right) \right)\)
\(\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\left( a+b+c \right)\left( {{\left( a+b+c \right)}^{2}}-3\left( ab+bc+ca \right) \right)+3abc\)
\(\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{3}}-3\left( a+b+c \right)\left( ab+bc+ca \right)+3abc\)

這樣會比較好推嗎?還是不會XD