這題目我看到時候，考古題有考過，就是用同餘理論去證明。
如果考場上沒有直接想出來是用 \(mod 8\)，用\(mod 4\)可以證明出來嗎??

謝謝。一卡住趕緊換\(mod 8\)證明

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) + 3abc\]
針對計算題第四題，就是要使用乘法公式來解。如果善用乘法公式，這個題目可以解得很快。
上面這個乘法公式。前年考上教師甄選那年，這個公式有特別去記，但久沒用。還是忘記了。
剛剛在做計算題第四題。。擔心考場公式忘記。自己換個方式思考，推導了一次
\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c} \right)^3} = 1{\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c + 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {c^3} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}
\end{array}\)
下面這步就是關鍵整合了
\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {b + c + a - a} \right) + {b^2}\left( {c + a + b - b} \right) + {c^2}\left( {a + b + c - c} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {a + b + c} \right) + {b^2}\left( {a + b + c} \right) + {c^2}\left( {a + b + c} \right) - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)} \right\}
\end{array}\)
剩下就是分別把題目給的條件給帶入，找出其他需要的條件
這樣在考場，不會因為沒有記公式，題目白白放掉了

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 02:00 PM 編輯 ]

感謝寸絲的解答。。
我知道下面紅色箭頭部分的解釋了。

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-4-28 10:02 AM 發表
計算 8.
1. 題意中，並無任何地方指出 \( f(x) \) 是一個多項式。

2. 題幹不完整，缺少函數 \( f \) 的定義域及對應域，且敘述有瑕疵

個人傾向解讀為：\( f(f(x)+f(y)) = x+y \), for all \( x, y \in \mathbb{N} \)。

...

寸絲
請問一下喔，關於十八樓，松山高中計算題第八題做法。
應該就是設法找出函數\(f\)的長相，這中間可能包含了週期性，因為之前做過類似的題目，用週期性去倒推算\(f(2014)\)
所以這個題目，也盡可能去找出函數\(f\)的規則，  這個題目是\(f:N \to N\)
所以你一開始推測最小正整數 \(N=1\)，\(f(1)=k\)，\(k\)是正整數。這部分可以理解。
之後就開始循環帶入，依照題目給定的規則。就會發現你寫出的結論。

如此重覆(或數學歸納法)可得 \( f(p)=pk \) 且 \( f(qk)=q \), for \( p=1,4,7,10,\ldots \) 和 \( q=2,5,8,\ldots \)。

接下來如我紅色框框的部分，這部分在做甚麼？如何思考?
思考更妙的是，怎麼會想到引進 同餘 的理論。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-12 07:56 PM 編輯 ]

寸絲老師，謝謝囉。
我來好好仔細消化理解你的整個絲路過程。
                                            寸絲老師思考路線的過程~~絲路