例：投擲一粒公正骰子50次，1點出現次數為r次的機率為Pr，當Pr為最大值，則其r之值為？

給個公式:  (請網友自行證明)
(a+b)^n ,一般項為C(n,r)*(a)^(n-r) * b^r---------(*)
令t=a/b  , m=[ (n+1) / (t+1)] (下高斯)
(i)當 (n+1) / (t+1) 為"非整數" , r=m 使得(*)有最大值
(ii)當 (n+1) / (t+1) 為"整數" , r=m 與r=m-1使得(*)有最大值

例: (5/6 +1/6)^50
n=50 ,a=5/6 ,b=1/6 ,t=5
m=[(n+1)/(t+1)] = [51/6] =8
r=8 使得(*)有最大值

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-10 06:22 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-1 07:42 PM 發表
計算第 4 題
xy + yz + zx = [(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)]/2 = -3

xyz = [(x^3 + y^3 + z^3) - (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)]/3 = -8

(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xy ...

另解:前面仿鋼琴兄做法先算出xy+yz+zx=-3, xyz=-8
設x,y,z為f(t)=t^3-2t^2-3t+8=0的三解
所以x^3+1=2x^2+3x-7 ,y^3+1=2y^2+3y-7 , z^3+1=2z^2+3z-7
又2t^2+3t-7=0其解為p=(-3+√65)/4 ,q=(-3-√65)/4
所求=(2x^2+3x-7)(2y^2+3y-7)(2z^2+3z-7)=8(x-p)(y-p)(z-p)(x-q)(y-q)(z-q)------------(*)
又f(p)=(p-x)(p-y)(p-z)=23p/4 -17/4 ; f(q)=(q-x)(q-y)(q-z)=23q/4 -17/4  (由綜合除法得)  代入(*)
所求=8*(-61)=-488       (後面-61的化簡可用平方差效果)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 07:12 PM 編輯 ]