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103松山高中(辛苦記憶版)

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2014-4-27 11:15 AM 發表

所以△CAK為等腰三角形
因此∠CKI=∠CAI=t
請問這有什麼關係可以這樣推論嗎?

計算5
動點P形成紅色區域


[ 本帖最後由 shiauy 於 2014-4-27 12:44 PM 編輯 ]

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第 4 題
僅需求 C(605,k) * 5^(605 - k) 有最大值時的 k 即可
利用 f(k + 1) ≦ f(k) 和 f(k - 1) ≦ f(k)
可求出 k = 100 和 101

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第 6 題另解
在 AC 上取一點 D,使得 CD = BC
AD = BI

△ICD 和 △ICB 全等 (SAS)
DI = BI

AD = DI
∠DIA = ∠DAI = ∠BAI
DI 和 AB 平行
ABID 是等腰梯形

∠BAC + ∠ABC = 180度 - 24度 = 156 度
∠BAC + 2∠BAC = 156 度
∠BAC = 52 度

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引用:
原帖由 shiauy 於 2014-4-27 11:45 AM 發表

請問這有什麼關係可以這樣推論嗎?
在三角形ACI與KCI中
因三角形CAK為等腰 => CA=CK------(1)
又角ACI=角KCI--------(2)
且CI=CI(公共邊)---------(3)
由(1)&(2)&(3)可知ACI與KCI全等(SAS)
所以角CAI=角CKI

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填充第 2 題

附件

20140427.jpg (109.89 KB)

2014-4-27 16:58

20140427.jpg

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剩計算6.7.8了…一點頭緒都沒有,有人有想法的嗎?

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第 6 題
a^2 + b^2 + c^2 = 7d^2
由 mod 8 可知四數均為偶數
左右兩邊同除以 4,改寫成 p^2 + q^2 + r^2 = 7s^2
如此不段進行,最後必最少有一數先變成奇數,不合
證畢

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-4-28 06:20 AM 編輯 ]

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回復 17# natureling 的帖子

計算 8.
1. 題意中,並無任何地方指出 \( f(x) \) 是一個多項式。

2. 題幹不完整,缺少函數 \( f \) 的定義域及對應域,且敘述有瑕疵

個人傾向解讀為:\( f(f(x)+f(y)) = x+y \), for all \( x, y \in \mathbb{N} \)。

但還是缺少了定義域和對應域,如不做限制,就會以下例子

例 \( f(x)=\begin{cases}
xq & \text{, if }\frac{x}{q}\notin\mathbb{Q}\\
\frac{x}{q} & \text{, if }\frac{x}{q}\in\mathbb{Q}
\end{cases} \),其中 q  為一無理數,則當 \( x, y\in\mathbb{N} \) 時, \( f(f(x)+f(y))=f(xq+yq)=f((x+y)q)=\frac{(x+y)q}{q}=q \)。

3. 假設 \( f \) 的定義域和值域都是自然數集 \( \mathbb N \),則 \( f(1)=k\in\mathbb{N} \)

\( f(2k)=2 \), \( f(4)=4k \), \( f(k+4k)=1+4=5 \),

如此重覆(或數學歸納法)可得 \( f(p)=pk \) 且 \( f(qk)=q \), for \( p=1,4,7,10,\ldots \) 和 \( q=2,5,8,\ldots \)。

\( p, q \) 同上行,可得 \( f(pk+q)=f(f(p)+f(qk))=p+qk \)

\( \Rightarrow f((p+qk)+pk)=f(f(pk+q)+f(p))=pk+q+p \)

又 \( p+qk+pk\equiv1 (Mod  3) \),因此 \( f(p+qk+pk)=pk+qk^{2}+pk^{2} \)

故 \( pk+q+p=pk+qk^{2}+pk^{2} \Rightarrow (p+q)(k^{2}-1)=0\Rightarrow k=\pm1 \)

而 \( 2014 \equiv 1 (Mod  3) \),故 \( f(2014) = 2014 \)

4. 3 中我們看到另一個可能解 \( k=-1 \),如果要接受這個解,我們必須擴充對應域為 \( \mathbb{Z} \)

緊接著的問題是 \( f(f(1)+f(1)) = f(-2) \), 是否繼續擴充定義域,而且讓 \( f \) 滿足的關係式是對任意整數 x, y 皆成立。

否則不擴充的話,負整數,將不受限制,無法無天,然後又會發生無限多可能的解


103.8.28版主補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y,\( f(x+yf(x))=f(x)+xf(y) \)皆成立,試證明:對每一個正整數n,\( f(n)=n \)。
(88全國高中數學競賽 台中區複賽試題(一),https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
那這題也可以用上面的方法證明嗎?假如不行的話是為什麼?那該用什麼方法?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-29 12:44 AM 編輯 ]
文不成,武不就

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印象中,計算八題目最前面有說  \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\)
所以樓上寸絲老師說的3應該就是標準答案。

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引用:
原帖由 thepiano 於 2014-4-26 11:44 PM 發表
填充 3
跟Catalan 數有關,答案應是 132
期待鋼琴兄解這題~

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