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103松山高中(辛苦記憶版)

回復 32# thepiano 的帖子

謝謝!

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2014-5-1 09:36 PM 發表

應該還是要證一下~
Σ  {x=1 to  ∞ }   1/x
跟Σ  {x=1 to  ∞ }   1/x²
也很像阿,但後面收斂到π²/6
\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{k} = 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right)}  + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{9} +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ge 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}} \right)\; + \frac{1}{{16}}\; +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 + \frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \frac{1}{2}\; +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;1 + \frac{1}{2}\; \times \infty  = \infty \;\;
\end{array}\]

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想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝

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回復 34# Ellipse 的帖子

謝謝Ellipse老師~

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引用:
原帖由 idontnow90 於 2014-5-1 10:35 PM 發表
想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝
計算題第五題怪怪的喔,\(p\)點應該是在正方形ABCD的內部。

以邊長1為半徑。四個頂點為圓心。分別畫出四個圓來觀察

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-1 11:07 PM 編輯 ]

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計算題第五題.jpg (57.32 KB)

2014-5-1 23:06

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計算題第五題.jpg

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計算第七題
證明:
積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x-1/2)]dx
(令t=x-1/2)
=積分( 0 -->1/2) [f(t+1/2)/f(t)]dt
=積分( 0 -->1/2) [f(x+1/2)/f(x)]dx
因此
積分(0 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)]dx + 積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)]dx + 積分( 0 -->1/2) [f(x+1/2)/f(x)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)+f(x+1/2)/f(x)]dx
由算幾不等式
>=積分(0 -->1/2) [2]dx
=1,得證。

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計算第八題:

證明在正整數的定義域以及對應域之下,f(x)必為x。
證明:
反覆運用規則 f [ f(x)+f(y) ] = x+y
f(x+y+z+u)
=f { f [(f(x)+f(y)] + f [(f(z)+f(u)] }
=f(x)+f(y)+f(z)+f(u)
因此
f(4)=f(1+1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=4×f(1) .......第一式
f(4+a+b)=f(3+1+a+b)=f(3)+f(1)+f(a)+f(b)  又  f(4+a+b)=f(2+2+a+b)=f(2)+f(2)+f(a)+f(b)
對照得 f(3)+f(1)=2×f(2) .......第二式
f(5+a+b)=f(3+2+a+b)=f(3)+f(2)+f(a)+f(b)  又  f(5+a+b)=f(4+1+a+b)=f(4)+f(1)+f(a)+f(b)=4×f(1)+f(1)+f(a)+f(b)   (由第一式)
對照得 f(3)+f(2)=5×f(1)  .......第三式
由二、三兩式得 f(2)=2×f(1),f(3)=3×f(1),
由數學歸納法可證得 f(n)=n×f(1) 對所有正整數n皆成立。 ......結論1
令 f(1)=t,
將x=1,y=1 代入f [ f(x)+f(y) ] = x+y 之中,
得f [ f(1)+f(1) ] = 1+1 , f(2t)=2,
又由結論1,f(2t)=2t×f(1)=2t^2,
因此2t^2=2,得t^2=1,t=1。
故f(n)=n 對所有正整數n皆成立。

[ 本帖最後由 linteacher 於 2014-5-2 01:28 AM 編輯 ]

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回復 15# thepiano 的帖子

鋼琴老師,你的這個想法,我也有想到。靠著化簡過後,置換到題目要求的式子。在用三角函數的二倍角公式。我剛剛在腦力激盪,想了另外一個方法。從圖形下手。
最近都在忙著做教師甄選題目。就直接照相貼圖檔上來了。

我剛剛才看到橢圓老師已經貼過圖解的解法了。


\( \displaystyle \frac{z-5}{z}=\frac{3}{2}(cos84^o+isin84^o) \)
∴\( |\; z-5 |\;=|\; z |\;=3:2 \)
由此可知紅色線為角平分線
因\( |\; z-5 |\;=|\; z |\;=|\; (z-5)-(z-2) |\; : |\; (z-2)-z |\;=3:2 \)
∴\( \displaystyle \frac{z-2}{z} \)的主幅角\( \displaystyle \theta_1=\frac{84^o}{2}=42^o \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-10 12:31 PM 編輯 ]

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103松山高中填充題第二題.JPG (138 KB)

2014-5-10 11:04

103松山高中填充題第二題.JPG

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回復 48# shingjay176 的帖子

第二題,這題的設計和100桃園高中相同。

100桃園高中:設 \( z \) 為複數,若 \( \frac{z-3}{z}=2(\cos80^{\circ}+i\sin80^{\circ}) \),則複數 \( \frac{z-1}{z} \) 之主輻角為 __________。
網頁方程式編輯 imatheq

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引用:
原帖由 thepiano 於 2014-4-29 11:20 AM 發表
填充 3
這題的類似題,去年竹北高中代理就考過了

此題相當於把 1~12 這 12 個自然數不重複填入一個二列六行(共 12 格)的表格中
且同一列中,右比左大;同一行中,上比下大,問有幾種填法?

轉化成一個 6 * 6 的表格,A 在左下角,B ...
thepiano 老師,你這個想法很棒。沒有做過的人,一定不可能馬上在考場想到這個方法。
技巧性太高了。所以考古題一定要熟練。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 12:01 PM 編輯 ]

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