引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-1 08:46 PM 發表
計算第 3 題
a_n = [1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] ＞ [1 * 2 * 4 * ... * (2n - 2)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] = 1/(2n)
Σ[1/(2n)] (n = 1 ~ ∞) 發散，故 Σ(a_n) (n = 1 ~ ∞) 也發散 ...

藉由打字輸入公式，順便理解一下鋼琴老師的證明想法。
\(\begin{array}{l}
{a_n} = \frac{{1 \times 3 \times 5 \times  \cdots  \times \left( {2n - 1} \right)}}{{2 \times 4 \times 6 \times  \cdots  \times 2n}} > \frac{{1 \times 2 \times 4 \times  \cdots  \times \left( {2n - 2} \right)}}{{2 \times 4 \times 6 \times  \cdots  \times 2n}} = \frac{1}{{2n}}\\
\\
\;\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}}  > \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{2n}}}
\end{array}\)   

\(\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{2n}}} \) ~~~發散(這個要證明嗎?)我記得這個是調和級數勒
所以 \(\;\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} \)也是發散

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-1 09:14 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-1 09:15 PM 發表

後面用"積分測試法"證  (Integral test)

可以直接當作先備知識，就帶過去嗎?不知道會不會被扣分。
\[\int_1^\infty  {\frac{1}{x}} dx = \ln \infty  - \ln 1\]

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-1 09:36 PM 發表

應該還是要證一下~
Σ  {x=1 to  ∞ }   1/x
跟Σ  {x=1 to  ∞ }   1/x²
也很像阿,但後面收斂到π²/6

\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{k} = 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right)}  + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{9} +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ge 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}} \right)\; + \frac{1}{{16}}\; +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 + \frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \frac{1}{2}\; +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;1 + \frac{1}{2}\; \times \infty  = \infty \;\;
\end{array}\]

引用:

原帖由 idontnow90 於 2014-5-1 10:35 PM 發表
想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝

計算題第五題怪怪的喔，\(p\)點應該是在正方形ABCD的內部。

以邊長1為半徑。四個頂點為圓心。分別畫出四個圓來觀察

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-1 11:07 PM 編輯 ]

鋼琴老師，你的這個想法，我也有想到。靠著化簡過後，置換到題目要求的式子。在用三角函數的二倍角公式。我剛剛在腦力激盪，想了另外一個方法。從圖形下手。
最近都在忙著做教師甄選題目。就直接照相貼圖檔上來了。

我剛剛才看到橢圓老師已經貼過圖解的解法了。


\( \displaystyle \frac{z-5}{z}=\frac{3}{2}(cos84^o+isin84^o) \)
∴\( |\; z-5 |\;=|\; z |\;=3:2 \)
由此可知紅色線為角平分線
因\( |\; z-5 |\;=|\; z |\;=|\; (z-5)-(z-2) |\; : |\; (z-2)-z |\;=3:2 \)
∴\( \displaystyle \frac{z-2}{z} \)的主幅角\( \displaystyle \theta_1=\frac{84^o}{2}=42^o \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-10 12:31 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-29 11:20 AM 發表
填充 3
這題的類似題，去年竹北高中代理就考過了

此題相當於把 1~12 這 12 個自然數不重複填入一個二列六行(共 12 格)的表格中
且同一列中，右比左大；同一行中，上比下大，問有幾種填法？

轉化成一個 6 * 6 的表格，A 在左下角，B ...

thepiano 老師，你這個想法很棒。沒有做過的人，一定不可能馬上在考場想到這個方法。
技巧性太高了。所以考古題一定要熟練。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 12:01 PM 編輯 ]

剛剛做這份考題，看到填充題第四題，有種好熟悉的感覺。
原來是前年考上教師甄選那年，隨身筆記本，把不會的題目都寫下來。
我印象中這題目是出自於舊版的高中數學101。
紅筆那個部分，就是我覺得這個題目的思考關鍵。
紅色那個部分為何最關鍵，\(f(k - 1) \le f(k)\;,\;f(k) \ge f(k + 1)\)，只要你寫出幾組組合數，
例如 1,2,1    1,3,3,1   1,4,6,4,1....你就會發現當中間附近那個會最大


例：投擲一粒公正骰子50次，1點出現次數為r次的機率為\( P_r \)，當\( P_r \)為最大值，則其r之值為？
\( \displaystyle P_r=C_{r}^{50}(\; \frac{1}{6} )\;^6 (\; \frac{5}{6} )\;^{50-r}=\frac{C_r^{50}5^{50-r}}{6^{50}} \)
只需求\( f(r)=C_r^{50}5^{50-r} \)的最大值即可。

①\( f(r+1)\le f(r) \)
⇒\( \displaystyle C_{r+1}^{50}5^{49-r}\le C_r^{50}5^{50-r} \)

⇒\( \displaystyle \frac{50!}{(r+1)!(49-r)!}5^{49-r} \le \frac{50!}{r!(50-r)!}5^{50-r} \)

⇒\( \displaystyle \frac{1}{r+1} \le \frac{5}{50-r} \)⇒\( r \ge 7點多 \)

②另外\( f(r-1) \le f(r) \)
⇒\( \displaystyle C_{r-1}^{50}5^{51-r} \le C_r^{50}5^{50-r} \)

⇒\( \displaystyle \frac{50!}{(r-1)!(51-r)!}5^{51-r} \le \frac{50!}{r!(50-r!)}5^{50-r} \)

⇒\( \displaystyle \frac{5}{51-r} \le \frac{1}{r} \)⇒\( 5r \le 51-r \)⇒\( r \le 8點多 \)

故\( r=8 \)有最大值

填充題第五題
28樓和2樓的答案怎麼不一樣?
誰對?

............................
剛剛我自己解了一次，二樓答案對~~
一起來偵錯，看看28樓哪裡發生錯誤

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 04:35 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 David 於 2014-5-1 12:11 PM 發表
填充第五題, 我算的答案和二樓的大大不同, 貼出來想和各位請教一下, 是哪裏有問題??

所求為\(g(\frac{1}{2})\). 將\(x=\frac{1}{2}\)代入二式, 得
$$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}+\int_0^2g(\frac{1}{2})dx=\frac{3} ...

我覺得問題出在\(f(x) = x + 1 + \int_0^2 {g(x)dx} \),→\(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 1 + \int_0^2 {g(\frac{1}{2})dx} \)

\(\frac{1}{2}\)不可以這樣直接帶入。\(\int_0^2 {g(x)dx} \) 積分完之後是一個定值，這是一個定積分。

原本被積分函數是\(g(x)\)，那樣帶入變成對常數 \(g(\frac{1}{2})\)積分。
希望這回答，對你有幫助。

5.
令\( \int_{0}^{1}f(x)dx=a \)，\( \int_{0}^{2}g(x)dx=b \)
\( \displaystyle \cases{\int_0^1f(x)dx=\int_0^1(x+1)dx+\int_0^1 b dx⇒a=\frac{1}{2}+1+b \cr
\int_0^2 g(x)dx=\int_0^2 (2x-3)dx+\int_0^2 a dx⇒b=4-6+2a} \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{2} \)，\( b=-1 \)
\( \displaystyle g(x)=2x-3+\frac{1}{2}=2x-\frac{5}{2} \)
所求\( \displaystyle g(\frac{1}{2})=2(\; \frac{1}{2} )\;-\frac{5}{2}=\frac{-3}{2} \)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 09:35 AM 編輯 ]

Ellipse 老師  
針對填充題第六題，我本來想看看有沒有其他解法。
結論 投降
沒有更好的方法。這個題目設定就是要從幾何圖形出發，我剛剛想用代數，三角函數，複數，想辦法圖形架在座標平面上，給定座標。未必好解。因為我要假設出很多變數。這個題目的\(AC=BC+BI\)等於是設計好的。接受記住這個輔助線的做法。我會再來說服自己，為何要這樣做。

基本上我還是使用輔助線的方法，我換個脈絡來思考。以下是我的想法，供大家參考
想法
從內心可以推出那個角度和是78度
想辦法找出 這兩個角度關係。內心條件已經用了。剩下就是AC=BC+BI
看看可以證明出三角形全等，或是相似嗎?這樣角度之間就有個連結。
為了這個目的，才搭起做(BC延長線)輔助線的想法。為了到達河的對岸。這樣你會記憶比較牢靠
我不喜歡上課，天外飛來一筆，告訴學生做輔助線。很突兀的起頭...

填充第6題.gif (3.61 KB)

2014-5-10 20:36

①
I是內心，所以\( ∠ABI=∠CBI=\alpha \)。
　　　　　　\( ∠BAI=∠CAI=\theta \)。
\( 2 \theta+2 \theta+24^o=180^o \)⇒\( \theta+\alpha=78^o \)
②
作\( \overline{BK}=\overline{BI} \)
\( \overline{BI}+\overline{BC}=\overline{AC} \)⇒\( \overline{BK}+\overline{BC}=\overline{AC} \)⇒\( \overline{KC}=\overline{AC} \)
\( ΔAIC=ΔKIC \)
∴\( ∠IKB=∠CAI=\theta \)
\( ΔIBK \)為等腰三角形∴\( \alpha=2\theta \)
③
\( \theta+\alpha=\theta+2\theta=3\theta=78^o \)⇒\( \theta=26^o \)
∴\( ∠BAC=52^o \)

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 09:40 AM 編輯 ]