填 8. 令 \( \vec{a}=\vec{OA_{k}}, \vec{b}=\vec{OB_{k}}, \vec{c}=\vec{OC_{k}} \)，則 \( \vec{OA}_{k+1}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}), \vec{OB}_{k+1}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}), \vec{OC}_{k+1}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{c}) \) ，則有

\( \begin{vmatrix}\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})\\
\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})\\
\frac{1}{3}(\vec{c}+\vec{a})
\end{vmatrix}=\frac{1}{27}\begin{vmatrix}\vec{a}+\vec{b}\\
\vec{b}+\vec{c}\\
\vec{c}+\vec{a}
\end{vmatrix}=\frac{1}{27}\begin{vmatrix}2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\
\vec{b}+\vec{c}\\
\vec{c}+\vec{a}
\end{vmatrix}=\frac{2}{27}\begin{vmatrix}\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\\
-\vec{a}\\
-\vec{b}
\end{vmatrix}=\frac{2}{27}\begin{vmatrix}\vec{c}\\
\vec{a}\\
\vec{b}
\end{vmatrix} \)，故體積之公比為 \( \frac{2}{27} \) ，而首項為 \( v_{1}=\frac{1}{6}|\begin{vmatrix}3 & -1 & 2\\
1 & 2 & 3\\
-2 & -1 & 3
\end{vmatrix}|=7 \)，

體積和為 \( \frac{7}{1-\frac{2}{27}}=\frac{189}{25} \)。

填充 4. 坐標硬解法，注意稱性，將矩形的中心點取為原點，令\( A( - 1,\frac{1}{2}),C(1, - \frac{1}{2}),P(2t,t) \)

\( \vec{AP}\cdot \vec{CP} = 5{t^2} - \frac{5}{4} = \sqrt {5{t^2} + 3t + \frac{5}{4}}  \cdot \sqrt {5{t^2} - 3t + \frac{5}{4}}  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {10} }}\)

\( \Rightarrow 25{(4{t^2} - 1)^2} = (20{t^2} + 12t + 5)(20{t^2} - 12t + 5) \cdot \frac{9}{{10}}\)

\( \Rightarrow 400{t^4} - 2504{t^2} + 25 = 0 \)

公式解可得 \( {t^2} = \frac{{2504 \pm 2596}}{{800}} = \frac{{25}}{4},\frac{1}{{100}} \Rightarrow t =  \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{1}{{10}} \)

其中 \( \pm \frac1{10} \) 檢驗應為 \( \cos \alpha = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \)