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103中央大學附屬中壢高中

回復 2# bugmens 的帖子

這張考卷,我有去考。等等訂正把答案貼出來。讓我最嘔的是,填充題第十一題,最近算寸絲的講義,算了第200題,前面題目有遇到類似取高斯函數的題目,方法也會了,考場上算出四個答案。我只驗算真數要恆正,沒有驗算原來的等式。因此我的答案寫了四個,包含那個正確答案。不知道這題可以撿到幾分~~~

11、若實數 \(x\) 滿足 \({{\left( \log x \right)}^{2}}-\left[ \log x \right]-3=0\) ,則\(x\)=?  
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{\left[ {\log x} \right] = t \Rightarrow t \le \log x < t + 1}\\
{}&{ \Rightarrow \left( {\log x} \right) - 1 < t \le \log x}\\
{}&{{{\left( {\log x} \right)}^2} - 3 = \left[ {\log x} \right] = t}\\
{}&{ \Rightarrow \left( {\log x} \right) - 1 < {{\left( {\log x} \right)}^2} - 3 \le \log x}\\
{}&\begin{array}{l}
\log x = A\\
A - 1 < {A^2} - 3 \le A\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A - 1 < {A^2} - 3\\
{A^2} - 3 \le A
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{A^2} - A - 2 > 0\\
{A^2} - A - 3 \le 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A > 2,A <  - 1\\
- 1. \cdots  \simeq \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2} \le A \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \simeq 2. \cdots
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2} \le A <- 1   ,    2 < A \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}
\end{array}
\end{array}\]
\[\left[ {\log x} \right] =  - 2,[\log x] = 2\]

帶回原式 ,
(1)  \(\begin{array}{l}
{\left( {\log x} \right)^2} - ( - 2) - 3 = 0\\
\Rightarrow \log x =  \pm 1 \Rightarrow x = 10 \vee x = \frac{1}{{10}}
\end{array}\)

(2) \(\begin{array}{l}
{\left( {\log x} \right)^2} - (2) - 3 = 0\\
\Rightarrow \log x =  \pm \sqrt 5  \Rightarrow x = {10^{\sqrt 5 }} \vee x = {10^{ - \sqrt 5 }}
\end{array}\)

\(x = 10,\frac{1}{{10}},{10^{\sqrt 5 }},{10^{ - \sqrt 5 }}\)
帶回 \({{\left( \log x \right)}^{2}}-\left[ \log x \right]-3=0\)  驗算

驗算發現只有 \({10^{\sqrt 5 }}\),符合等式。其餘都不合。另外三個答案,我在寫的時候,只驗算是否真數恆正。
沒有想到驗算這個原本題目的等式。因此四個答案都寫下去了。應該是都沒有分數了。(~~~樂極生悲,可惜了~~~會寫的題目就要步步驚心,小心把正確答案找出來)~~

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-26 09:12 PM 編輯 ]

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回復 3# shingjay176 的帖子

1、在1到100之間的正整數n中,使得\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 不互質的n有幾個? (這題目我在考場上,看到的第一題,又是今年第一家筆試,正個沒有了解題目意思,當下當成1到100中有多少個正整數與\({{n}^{2}}+7\) 和\(n+4\)不互質~~難怪當下越想越奇怪,整個沒有了解題目意思。犯了學生常犯的錯誤)

\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 不互質,代表\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 最大公因數不是1。
因此使用輾轉相除法。

\({n^2} + 7\)與\(n+4\),最大公因數23  
令 \({n^2} + 7=23h\)
    \(n+4=23k\)               \((h,k)=1\)

\(\begin{array}{l}
1 \le n = 23k - 4 \le 100\\
\Rightarrow 0. \cdots  \le k \le 4. \cdots \\
k = 1,2,3,4
\end{array}\)

共有4個

2、設\(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10\),則\(f(96) \div 193\)的餘數為?

觀察發現\(193=(96)(2)+1\),因此把 \(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10\)除以 \(2x+1\)
使用綜合除法
\(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10 = (2x + 1)Q(x) + r\),求出 \(r=8\)
\(\begin{array}{l}
f(x) = (2x + 1)Q(x) + 8\\
f(96) = (2 \times 96 + 1)Q(96) + 8
\end{array}\)

答案  \(8\)

3、設 \(f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\),求合成函數 \(f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)\)之最大值為?

\(\begin{array}{l}
y = f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\\
y = f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le x \le 1
\end{array}\)
這是一個開口向上的拋物線,頂點會產生最小值。頂點的\(x\)座標有包含在範圍內,可以得到
\[ \Rightarrow  - 4 \le y \le 5\]
\[\begin{array}{l}
f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( y \right)} \right)\\
k = f\left( y \right) = {\left( {y + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le y \le 5\\
\Rightarrow  - 4 \le k \le 32\\
f\left( k \right) = {\left( {k + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le k \le 32
\end{array}\]

當k=32時,原來題目的合成函數有最大值1085


填充題第7題,就看13樓,寸絲老師的解法

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:10 PM 編輯 ]

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回復 14# perfectcrazy 的帖子

第四題
設\(ABCD\)為矩形,\(\overline {AB}  = 1,\overline {BC}  = 2,P\)為射線\(\overrightarrow {BC} \)上一點,使\(\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}\),求\(\overline {PD} \)長為?
(我先說我的想法,在考場時候,這個題目很容易思考到座標化,如下圖。可以算出直線 \(BD\)的方程式\(y = \frac{1}{2}x\),然後假設\(p\)點的參數式,\(p(2t,t),t \ge 0\),由於\(\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}\)的值為正,所以這個角度為銳角,因此\(p\)會落在矩形外面,如下圖的參考圖形。我想藉由向量內積。向量\(PA\),向量\(PC\)內積去列出一個等式。解出 \(t\)這個未知數。列出來的等式如下
\[\sqrt {{{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {1 - t} \right)}^2}}  \times \sqrt {{{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - t} \right)}^2}}  \times \frac{3}{{\sqrt {10} }} = 5{t^2} - 3t\]
如果要解出\(t\),兩邊一平方後,就變成4次的方程式,而且係數很大。想法可以,但算不出來。在考場上就掛住了~~~

剛剛自己訂正又想到用三角函數的方法去做,答案有算出來了。

\(\begin{array}{l}
\angle APC = \theta  = \theta 2 + \theta 1,\tan \theta  = \frac{1}{3}\\
\Rightarrow \left( {\theta 2 + \theta 1} \right) + \left( {\theta 3 + \theta 4} \right) = {90^0}\\
\Rightarrow \theta  = {90^0} - \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)\\
\frac{1}{3} = \tan \theta  = \tan \left( {{{90}^0} - \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)} \right) = \cot \left( {\theta 3 + \theta 4} \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)}}
\end{array}\)

\[\frac{1}{3} = \frac{1}{{\tan \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)}}\]
\[ \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - (\tan \theta 3)(\tan \theta 4)}}{{(\tan \theta 3) + (\tan \theta 4)}}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - \frac{{2t - 2}}{t} \times \frac{{t - 1}}{{2t}}}}{{\frac{{2t - 2}}{t} + \frac{{t - 1}}{{2t}}}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{5{t^2} - 5t}}{{2{t^2}}} = \frac{{6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6}}{{2{t^2}}}\]

因為\(t\)大於0,因此得到分子會相等。

\[5{t^2} - 5t = 6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6\]

解出來 \[t = 3 \vee \frac{2}{5}\]  \(t = \frac{2}{5}\)不合

由此可知\(p(6,3)\),就可以解出 \[\overline {PD}  = \sqrt {20} \]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:11 PM 編輯 ]

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2014-4-27 16:48

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回復 16# tsusy 的帖子

排列組合這題目,我當下直覺放棄。考慮很多可能,算了半天又不一定對。等等再來好好訂正算一次。

第五題  \(\Delta ABC\)中,已知\(\overline {BC}  = 4\),\(\vec{BC} \cdot \vec{CA} =2 \vec{CA} \cdot \vec{AB} =3 \vec{AB} \cdot \vec{BC} \)
求線段\(AC\)長度為?

\[ab\cos \left( {\pi  - C} \right) = 2bc\cos \left( {\pi  - A} \right) = 3ca\cos \left( {\pi  - B} \right)\]
\[ - ab\cos C =  - 2bc\cos A =  - 3ca\cos B\]
\[ab\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 2bc\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = 3ca\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\]
\[{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2}\\
{a^2} + {b^2} - {c^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2}
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
- 2{b^2} - 6{c^2} =  - 6{a^2}\\
6{b^2} - 6{c^2} = 3{a^2}
\end{array} \right.\]
\[{b^2} = \frac{9}{8}{a^2} \Rightarrow b = \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \times 4 = 3\sqrt 2 \]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:31 PM 編輯 ]

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2014-4-27 17:44

第五題參考圖

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回復 17# shingjay176 的帖子

填充題第六題
求\(\log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}\sqrt {1 - {x^2}}  \ge \log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}y\)的圖形面積為?

(1)  此時取出的範圍是在圓內
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 1 > 1\\
\sqrt {1 - {x^2}}  > 0\\
y > 0\\
\sqrt {1 - {x^2}}  \ge y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y > 0\\
- 1 < x < 1\\
y > 0\\
{x^2} + {y^2} \le 1
\end{array} \right.\]

(2) 此時取出的範圍是在圓內
\[\left\{ \begin{array}{l}
0 < x + y + 1 < 1\\
\sqrt {1 - {x^2}}  > 0\\
y > 0\\
\sqrt {1 - {x^2}}  \ge y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x + y + 1 < 1\\
- 1 < x < 1\\
y > 0\\
{x^2} + {y^2} \ge 1
\end{array} \right.\]

\[\left( {\frac{1}{2} \times {{\left( 1 \right)}^2} \times \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right) + \left\{ {\frac{1}{2} \times 1 \times 1 - \frac{1}{2}{{\left( 1 \right)}^2} \times \frac{\pi }{4}} \right\} = \frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}\]  
答案  \[\frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:53 PM 編輯 ]

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回復 20# tsusy 的帖子

確實,這個函數長相真的很醜。我不敢微分下手。
越容易思考的觀念,計算過程越複雜。
填充題第四題,一般來說看到三角形,就是餘弦定理或向量內積。我列出算式後。根本算不下去。
時間在催我~~

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回復 21# idontnow90 的帖子

第十題我當下看去,要一個式子取捨定理寫出來,不太可能。
應該是要用分類討論的~~
可以把作法貼出來,這版上很多老師會幫你看看算式

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回復 24# chin 的帖子

可以用寸絲老師部落格的教學,我現在都是用方程式編輯器,轉換成LATEX語法。
http://tsusy.wordpress.com/2013/05/05/latex-%E2%86%94-mathtype/

填充題第十題
甲乙丙丁戊己共六人排成一列,其中甲不排在第1,2位,乙不排在第2,3位置,丙不排在第1,3位置且丁戊不相鄰的排列有幾種?


註解:這個問題在考場上,我直覺用排容原理不好算,但這題直接去那樣排容,每個子問題還是不好做,變得跟分類討論沒有什麼兩樣。因此每種狀況詳細列出來,分類討論去算。會比較好思考。考試時候,我過往經驗排列組合,只要討論有漏,或是多算。時間花下去了,分數又沒拿到。很吃虧。
考場上我試著去討論排列甲乙丙的可能所有位置,但又要考慮丁戊相鄰與否。因此變得十分複雜。
這個題目只要考慮丁戊,就單純許多


[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 11:19 PM 編輯 ]

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2014-4-27 23:12

填充題第十題_副本.png

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填充題第十二題,有何想法?從何下筆!
我只剩下這題還沒訂正出來答案。

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回復 32# tsusy 的帖子

寸絲老師,謝謝。

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