非連續函數

填充 6 沒有很怪，圖形如下，虛實線未標

2014.04.27.中壢高中6.png (5.91 KB)

2014-4-27 14:07

填7. 乘 \( \frac14 \) 相減就好了，但是這個操作要做兩次

由 Ratio Test，知該級數收斂，令 \( S=\sum\limits _{n=2}^{\infty}\frac{n^{2}-1}{4^{n}} \)

則 \( (1-\frac{1}{4})S=\frac{3}{16}+\sum\limits _{n=3}^{\infty}\frac{2n-1}{4^{n}} \Rightarrow\frac{3}{4}S=\frac{3}{16}+\sum\limits _{n=3}^{\infty}\frac{2n-1}{4^{n}} \)

\( \Rightarrow(1-\frac{1}{4})(\frac{3}{4}S)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{16}+\frac{5}{4^{3}}+\sum\limits _{n=4}^{\infty}\frac{2}{4^{n}} \)

\( \Rightarrow\frac{9}{16}S=\frac{9}{64}+\frac{5}{64}+\frac{2}{256}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{11}{48}
  \Rightarrow S=\frac{11}{48}\cdot\frac{16}{9}=\frac{11}{27} \)。

填 10. 這類的排組，每個人的方法都略有不同，提供一個方式

先慮丁戊兩人在前三和後三的分布為
(2,0) xoxooo，丁戊有 2 種排法，第一個 o，僅有兩人可站，故此類有 \( 2 \times 2 \times 3! = 24 \)
(1,1) xooxoo，丁戊有 \( (3+3+2)\times 2 =16 \) 種排法；甲乙丙三人恰一人只能排後兩個 o；排完後己有三個位置可選；己選完位後，甲乙丙另兩人恰剩 1 種排法，故此類有 \( 16 \times 2 \times 3 = 96 \)
(0,2) oooxox，丁戊有 2 種排法，己有 4 個位置可選，選後甲乙丙恰一種排法，故此類有 \( 2 \times 4 =8 \) 種

綜合以上，共有128 種排法。

不知道您怎麼微的，這個根號讓人不敢領教，只好由 WolframAlpha 代勞

differential sqrt(x^4/16-3/2x^2-6x+34)+sqrt(x^4/16+x^2/2+1)
solve 2 ((x+x^3/4)/sqrt((4+x^2)^2)+(-6-3 x+x^3/4)/sqrt(544-96 x-24 x^2+x^4))=0

solve 2 ((x+x^3/4)/sqrt((4+x^2)^2)+(-6-3 x+x^3/4)/sqrt(544-96 x-24 x^2+x^4))=0

做出來的結果，微分 =0，僅有 x=3，並非您寫的 3 個？

第二、三、四行有個筆誤，根號裡的分母寫錯了應該是 \( (n^2-16)^2 + 8(n-\color{red}{6})^2 \) 才正確

第五行的式子是正確的，但平方的同時增根了

您的計算中 －６＊３！＊４＊３，
6先挑出甲乙丙其1人及丁戊並決定其位子(未排入)，其餘3人排列 3!，丁戊再插入 \( 3! \times 4 \times 3\)
再把剛挑出的甲乙丙一人插入至其位子。

但這樣的子，會漏掉 丁甲戊乙丙己 這類 丁戊中恰為一開始被挑出的甲乙丙。
其它項亦同。

發生的問題點其實是在計算中用了兩種不相容的排法，選固定位子序及直線排列自動生產位序

填 12. 把 \( a_{n+1}, b_{n+1} \) 當作未知數，做消去法，可得

\( \begin{bmatrix}a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2\\
1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{n}\\
b_{n}
\end{bmatrix} \) ，而 \( \begin{bmatrix}1 & 2\\
1 & -1
\end{bmatrix}^{2}=3I_{2} \)，故 \( a_{n+2}=3a_{n}
, b_{n+2}=3b_{n} \)。

不不不 你的方法和 30# idontnow90 完全不同

30# idontnow90 沒有用到任何等號成立的事，只單純使用不等式論證出 \( ab \leq 18 \) 或 \( ab \geq 50 \) 不合。

也就是說 30# 中，除了最後一行的所以外，沒有其它錯誤。

所以 30# 之處，結論應改成 \( ab \) 有上界 18。

30# 樓僅需再驗證，等號成立，欲使 \( X = 18 \)，過程中每個不等式均須為等號，

故 \( a=2b, ab=18 \) 解得 \( a=6, b=3 \) 恰可使 \( ab \) 達到上界18，故18 為其最大值

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-28 11:38 AM 編輯 ]

我比較喜歡的說法是 沒有地方正確...

除了算幾不等式會讓人聯想到極值以外，其它沒有一個步驟處理了和極值有關的事
1. \( f(x) \leq m \)
2. 存在 \( x_0 \) 使得 \( f(x_0) = m \)
若 m 滿足 1,2 這兩件事，我們稱 m 是 \( f \) 的最大值

這兩件事，在甲、乙兩種過程裡完全沒有任何一丁點出現