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103臺中女中

計算二會不會是要證 tanαtanβtanγ ≧ 2√2 ?

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引用:
原帖由 kpan 於 2014-4-26 10:26 PM 發表
第二題 後面是  3根號2
tanαtanβtanγ ≧ 2√2
用算幾,會得到 tanα + tanβ + tanγ ≧ 3√2

這題可假設 cosα、cosβ、cosγ 是一對角線長為 1 的長方體之長、寬、高來做

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第 8 題
令 z = cosx + isinx
分別代入 z + 1 = -1/z^103 和 z + 1 = -1/z^100
比較實部和虛部呢?

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回復 52# tsusy 的帖子

令\(f\left( x \right)={{x}^{4}}-\left[ \frac{{{a}^{4}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]=0\)
之四根為 a、b、c、d
\(\begin{align}
  & f\left( 0 \right)=-\left[ \frac{{{a}^{4}}bc}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{a{{b}^{4}}c}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{ab{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]=abcd \\
& \frac{{{a}^{3}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{3}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{3}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}=-d=a+b+c \\
&  \\
\end{align}\)

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回復 57# cefepime 的帖子

這樣簡捷很多,分子是四次的也可以這樣玩
\(\frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-12 03:58 PM 編輯 ]

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回復 62# 小傑 的帖子

可搜尋 "構造法解題"

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回復 65# leo790124 的帖子

\(f\left( x \right)={{x}^{4}}-\left[ \frac{{{a}^{4}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]\)
之四根為a、b、c、d


\(\begin{align}
  & a+b+c+d=0 \\
& d=-\left( a+b+c \right) \\
&  \\
& \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \\
& =-\left( ab+ac+ad+bc+bd+cd \right) \\
& =-\left[ ab+ac+bc+\left( a+b+c \right)d \right] \\
& =-\left[ ab+ac+bc-\left( a+b+c \right)\left( a+b+c \right) \right] \\
& ={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca \\
\end{align}\)

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