請問填充第7題，小弟的做法不知道可以嗎？有更好的做法嗎？
1.
\( \cases{\displaystyle a_n+a_{n+1}=c_n \cr a_n a_{n+1}=\frac{1}{5^n}} \)
2.
\( a_1=2 \)，\( \displaystyle a_2=\frac{1}{10} \)，\( \displaystyle a_3=\frac{2}{5} \)，\( \displaystyle a_4=\frac{1}{50} \)，…
奇數項公比\( \displaystyle =\frac{1}{5} \)，偶數項公比\( \displaystyle =\frac{1}{5} \)
3.
\( \displaystyle S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}c_k=\sum_{k=1}^{2n}(a_k+a_{k+1})=\sum_{k=1}^{2n}a_k+\sum_{k=1}^{2n}a_{k+1} \)
其中\( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n}a_k=\frac{2\left[ 1-(\frac{1}{5})^n \right]}{1-\frac{1}{5}}+\frac{\frac{1}{10}\left[ 1-(\frac{1}{5})^n \right]}{1-\frac{1}{5}} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n}a_{k+1}=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2n-1}-a_1=\frac{2 \left[ 1-\left( \frac{1}{5} \right)^{n+1} \right]}{1-\frac{1}{5}}+\frac{\frac{1}{10}\left[ 1-\left( \frac{1}{5} \right)^{n} \right]}{1-\frac{1}{5}}-2 \)
∴\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}=\frac{5}{2}+\frac{1}{8}+\frac{5}{2}+\frac{1}{8}-2=\frac{13}{4} \)
