個人覺得填充第一題，題目不太嚴謹。
應該加上: "a,b,c 皆相異" 這個條件；否則，考慮 a=b=c=1 的情況，即會出毛病。
追本溯源，公式 a³/(a - b)(a - c) + b³/(b - a)(b - c) + c³/(c - a)(c - b) = a+b+c 要成立，必須a,b,c 皆相異。

請教一下， 鋼琴老師的妙解是否可作如下修改: (已知 a，b，c 皆相異)


f(x) = x³ - [a³(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c) + b³(x-a)(x-c)/(b-a)(b-c) + c³(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)] = 0 之三根為 a，b，c 。


[...] 內為滿足 f(a) = a³，f(b) = b³，f(c) = c³ 之二次函數。

考慮 f(x) = 0 之三根和，由根與係數關係，得:


a³/(a-b)(a-c) + b³/(b-a)(b-c) + c³/(c-a)(c-b) = a + b + c

之所以想這樣改，是覺得上面的思維與拉格朗日插值法有較緊密的聯繫，而原待證式在型態上亦與拉格朗日插值公式有相似處，或許比較容易聯想出來。

填充12 個人心得:


直角三角形中，兩股上中線之夾角，與兩股長比值有一對一之關係。亦即，給定兩股上中線之夾角，則這個直角三角形的"形狀"就確定。又再給了斜邊長後，此直角三角形唯一決定。


原題: 在坐標平面上，有一直角△ABC，以∠C 為直角，AD, BE, CF 為△ABC 之三中線，已知AD落在直線 2x + y = 5上，BE落在直線 x + 2y =1上，AB = 30，則△ABC 的面積為?




解: 令△ABC兩股長為 a，b，且 b/a = m


設兩股上中線之銳夾角θ，則 tanθ = 3/4 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2) (tan 之和角公式)


即 1/2 = m / (1+m²)


解得 m=1 (一般情形下，會解得互為倒數之兩正根，表相似形，即前面提的: 給定兩股上中線之夾角，則這個直角三角形的"形狀"就確定。本題的數據剛好為等腰直角三角形: a = b)。


再由 a² + b² = 900，所求 = ab/2 = a²/2 = 900/4 = 225


註: 直角三角形中，兩股上中線之銳夾角θ的取值範圍: 0 < θ <= arctan(3/4)




(102中山大學雙週一題第2題)

令△ABC為在 xy 平面上的直角三角形，其中∠C為直角。給定斜邊AB的長度為60，且穿過A與B的中線分別為 y=x+3 與 y=2x+4，試求三角形ABC的面積。




解: 令△ABC兩股長為 a，b，且 b/a = m


設兩股上中線之銳夾角θ，則 tanθ = 1/3 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2)


即 2m² + 2 = 9m ....(1)


以下仿上題解出 m 固然可行，但本題是無理根較麻煩，可以不必直接解出 m。


令所求面積 = ab/2 = k，又 b/a = m ，兩者乘除分別可得 a² 與 b² 而代入下面關係式:


斜邊AB的長度為60，故 a² + b² = 3600，即 2k*(m + 1/m) = 3600


又由(1)式，得 m + 1/m = 9/2，故面積 = k = 400




註: 用這個思維，若題目不是給中線而是給 "n等分線"，亦不難求得面積。