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103臺中女中

引用:
原帖由 tsusy 於 2014-5-4 12:04 AM 發表
填12. 是 225  沒錯,算出來會剛好是等腰直角三角形,不知道您怎麼做的

提供一個暴力解,令 \( \overline{BC} =a, \overline{AC} = b \),則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2} ...
斜率暗藏玄機~這題下面解釋只差AC是垂直線,BC是水平線的證明(留給網友證)
參考如附件的圖~
考填充題可以大膽一點,先畫正常的圖(AC是垂直線,BC是水平線)
再根據題目給的資料
假設AD的斜率為m1,則m1=-2,
可知AC/CD=2/1 ,令AC=2t,CD=t (t>0) --------(1)
假設BE的斜率為m2,則m2=-(1/2)
可知EC/CB=1/2 ,令EC=k,CB=2k (k>0)--------(2)
由(1)&(2)及E,D分別為AC,CB中點知
AC=2EC ,2t=2(k) ,則t=k
所以AC=CB為等腰直角三角形(角C=90度)
剩下就簡單了~

註: 在所有的等腰直角三角形ABC(角C=90度)
     當AC是垂直線,BC是水平線
    則中線AD的斜率皆為 -2
     中線BE的斜率皆為-1/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-4 10:50 AM 編輯 ]

附件

中線&面積2.png (69.09 KB)

2014-5-4 10:40

中線&面積2.png

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再整理一下填充12所用的性質
Lemma:
在坐標平面上,若三角形ABC的角C為直角
且中線AD的斜率為-2,中線BE的斜率為-1/2
<=>
AC=BC,且AC是垂直線,BC是水平線

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引用:
原帖由 hua0127 於 2014-6-12 08:52 AM 發表
鋼琴老師好漂亮的證法~受教了
帥!鋼琴兄的神解~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:30 PM 編輯 ]

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幫忙打字,節省論壇空間
Q:試證\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}=a+b+c \)
pf:Lemma
\( \displaystyle \frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}=0 \)--①

\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1 \)--②

設所求為k--③,令\( \displaystyle x=\frac{1}{(a-b)(a-c)} \),\( \displaystyle y=\frac{1}{(b-c)(b-a)} \),\( \displaystyle z=\frac{1}{(c-a)(c-b)} \)--④

可列出聯立方程組\( \displaystyle \cases{ax+by+cz=0 \cr a^2x+b^2y+c^2z=1 \cr a^3x+b^3y+c^3z=k} \)
∴\( \displaystyle \Delta=\left|\ \matrix{a & b & c \cr a^2 & b^2 & c^2 \cr a^3 & b^3 & c^3} \right|\ =abc(a-b)(b-c)(c-a) \)

\( \displaystyle \Delta \cdot x=abc(a-b)(b-c)(c-a)\cdot \frac{1}{(a-b)(a-c)}=-abc(b-c) \)--⑤

又\( \Delta_x=\left|\ \matrix{0 & b & c \cr 1 & b^2 & c^2 \cr k & b^3 & c^3} \right|\ =bc(b-c)(b+c-k) \)--⑥
比較⑤& ⑥ ∴\( b+c-k=-a \),\( k=a+b+c \)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:40 PM 編輯 ]

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回復 56# bugmens 的帖子

bugmens兄,不好意思麻煩您了~
有空再來學LATEX的語法
對了,在用電腦看時
怎有時候相鄰兩列會疊在一起?
有時字會有大有小?

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