小弟先拋磚引玉
填1:
公式:a^3/((a - b) (a - c)) + b^3/((b - a) (b - c)) + c^3/((c - a) (c - b))=a+b+c---------------(1)
依題意可知: (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=3(x-α)(x-β)---------------(2)
將x=a代入(2),可得 (a-b)(a-c)=3(a-α)(a-β) , (a-α)(a-β)=(1/3)*(a-b)(a-c)------------(3)
將x=b代入(2),可得 (b-a)(b-c)=3(b-α)(b-β) , (b-α)(b-β)=(1/3)*(b-a)(b-c)------------(4)
將x=c代入(2),可得 (c-a)(c-b)=3(c-α)(c-β) ,  (c-α)(c-β)=(1/3)*(c-a)(c-b)------------(5)
由(3)(4)(5)可將原式分母換掉
所求
=3[a^3/((a - b) (a - c)) + b^3/((b - a) (b - c)) + c^3/((c - a) (c - b))]
=3(a+b+c)---------by(1)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 05:56 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 weiye 於 2014-4-26 03:15 PM 發表
憑印象補個計算題題目：

1. 直線 \(L\) 通過點 \((2,1)\) 且與拋物線 \(y=-x^2-2x+2\) 圍成一個封閉區域，試問封閉區域的最小面積。（還是問有最小面積時的 \(L\) 方程式？忘光光了～：Ｐ ）

2. 設 \(\alpha, \beta, \gamma\) 為銳 ...

weiye老師:
計算1的拋物線應該不是y=-x^2-2x+2
這樣P點(2,1)會在拋物線外面(不跟焦點同區域)
所圍面積最小值會是0

填充14
橢圓方程式T:x^2/a^2+y^2/b^2=1 --------(*)
長軸長=2a=4 ,a=2
短軸長=2b=2, b=1
先觀察圓Q:x^2+ y^2=1 (當(*)的a=1,b=1時)
假設L1:y=x與Q交於A,B兩點
假設L2:y=-x與Q交於C,D兩點
易知AB,CD將圓平分四等份
現在將x軸拉長為原來兩倍
可得T:x^2/4 +y^2/1=1---------(1)
而L1變成L1':y=(1/2)x----------(2)
與T的交點坐標變成A' (2^0.5 ,2^0.5/2) ,B' ( -2^0.5 ,-2^0.5/2)
(將(2)代入(1)解出的)
所求=A'B'=2(2+ 2/4 )^0.5=10^0.5

請參考附件.gif

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 06:53 PM 編輯 ]

填充8:
次方很高看起來很唬人,其實不難~
(修改作法)
z為(x^104+x^103+1)(x^101+x^100+1)=0的一根
所以z^104+z^103+1=0-------------------(1)
或z^101+z^100+1=0-------------------(2)
由(1)得 z^103 (z+1)=-1
兩端取絕對值得|z|^103 *|z+1| =1
因為|z|=1----------(3)
所以|z+1|=1----------(4)
(3)表示在高斯平面上以(0,0)為圓心半徑為1的圓
(4)表示在高斯平面上以(-1,0)為圓心半徑為1的圓
由(3)&(4)的解可得z=(-1+√3i)/2或(-1-√3i)/2
而再作(2)的解亦得相同的答案

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 11:52 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 weiye 於 2014-4-26 11:19 PM 發表


「(1) 且 (2)」?

「(1) 或 (2)」?

好像有瑕疵~~
考試時要湊出答案可能會這樣硬算

看了它給的答案會符合(1)且(2)

大家來討論把這題補起來~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 11:31 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-26 11:43 PM 發表
第 8 題
令 z = cosx + isinx
分別代入 z + 1 = -1/z^103 和 z + 1 = -1/z^100
比較實部和虛部呢？

都被騙了~
小弟想到一個妙解,已做修改~~

引用:

原帖由 linteacher 於 2014-4-27 09:26 AM 發表
填充2的答案是否有誤?
我算的答案是:αβ=70

參考解法:
由 f(5)=6=5+1，f(12)=13=12+1，
得f(x)-x-1=(x-5)(x-12)p(x)，其中p(x)為整係數多項式(高斯引理)。
解f(x)=x+11，即解 (x-5)(x-12)p(x)=10，
若x為整數，則x-5、x-12、p( ...

f(x)=x+11等式成立時 ,只有當(其中)x=α, β

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-27 10:28 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-4-27 10:55 AM 發表
我想應該有許多考生也解出唯一解70 (包括我XD)

若答案有誤，影響成績那是必然的，但也或許只是大家都一起多了5分

若複查時間之前沒有人能說明195是對的，我會去問看看有沒有全部重新批閱的可能 ...

再算一次,應該是70

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-4-27 10:55 AM 發表
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PS. 學校下午5點公告 ...

台中女中算是很有誠意~

引用:

原帖由 panda.xiong 於 2014-5-1 08:34 AM 發表
請問填充第4題，小弟的做法不知道可以嗎？有更好的做法嗎？

後半段算 2(a1+a2+a3+a4+................) -a1
就可以了~