第3題：(另一條切線應該與 \(y=x^3\) 有兩個交點)

設 \(P(t,t^3)\)，過 \(P\)之切線為 \(y=m(x-t)+t^3\) 〈由一階導函數可知斜率 \(m\) 必有一解為 \(m=3t^2\)〉

欲求另一條切線的斜率，即考慮方程式：\(m(x-t)+t^3=x^3\)   \(\Rightarrow x^3-mx-t^3+mt=0\)

因為相切，故上方程式有重實根，故判別式 \(D=-4(-m)^3-27(t^3-mt)^2=0\)

整理判別式 \(4m^3-27t^2m^2+54t^4m-27t^6=0\)

因式分解〈已知有一解為 \(m=3t^2\)〉\((m-3t^2)(m-3t^2)(4m-3t^2)=0\)

可知另一條過 \(P\) 之切線斜率為 \(\displaystyle m=\frac{3t^2}{4}\)

則目標 \(\displaystyle \tan\theta=\frac{3t^2-\frac{3t^2}{4}}{1+3t^2\times\frac{3t^2}{4}}=\frac{9t^2}{9t^4+4}=\frac{9}{9t^2+\frac{4}{t^2}}\leq\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) (最大值)

最後一個不等式可由算幾不等式而得，此時 \(\displaystyle 9t^2=\frac{4}{t^2} \Rightarrow t=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-3-19 01:25 PM 編輯 ]

直線 \(y=m(x-t)+t^3\) 與函數 \(y=x^3\) 相切

表示方程式 \(m(x-t)+t^3=x^3\) 有重實根，整理得 \(x^3-mx-t^3+mt=0\) 有重實根

而實係數三次函數 \(f(x)=x^3+qx-r=0\) (缺 \(x^2\) 項)之判別式為 \(D=-4q^3-27r^2\)  (我喜歡這個版本^^)

若 \(D>0\)，則有三相異實根

若 \(D=0\)，則必含有重實根 (所有根皆為實根)

若 \(D<0\)，則為一實根二虛根(共軛)

證明過程其實就是和平常利用一階導函數 \(f'(x)=3x^2+q=0\) 的兩個根來說明 \(f(x)=0\) 的根之情形一樣

詳細可參考 徐氏選修數學(II) 2-3三次函數的圖形 最後一題範例

(這題一定還有其他作法的，用判別式不見得是最快解法，我再想想... )