第 1 題：

此數列 \(1,2,3,4,5,10,20,40,80, \cdots\)

其實就是 \(1, 2, 3, 4\) 以及剩下的 \(5\cdot 2^0 , 5\cdot 2^1, 5\cdot 2^2, 5\cdot 2^3, 5\cdot 2^4, \cdots\)



對任意正整數 \(M\) ，被 \(5\) 除之後，假設餘數為 \(r\)，則 \(r\in\left\{0,1,2,3,4\right\}\)，

可將商以唯一的二進位表示法寫為 \(a_n2^n + a_{n-1}2^{n-1} +\cdots + a_1\cdot2 + a_0\)

其中 \(n\) 為非負數整數，\(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_1, a_0 \in\left\{0,1\right\}\)

且 \(r, a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_1, a_0\) 不全為零，

亦即

\(M =\) 除數 * 商 + 餘數

　\(= 5\left(a_n2^n + a_{n-1}2^{n-1} + \cdots + a_1\cdot2 + a_0\right) + r\)

　\(= a_n\cdot5\cdot2^n + a_{n-1}\cdot5\cdot2^{n-1} + \cdots + a_1\cdot5\cdot2 + a_0\cdot5 + r\)


若 \(r\neq0\)，則 \(r\) 為此數列的前四項之中的一個，

若 \(r=0\) 則沒有取前四項之一，

若 \(a_i=1\) ，則表示有加上 \(5\cdot2^i\) (這個數字是此數列中的第 \(i+5\) 項)

若 \(a_i=0\) ，則表示沒有加上 \(5\cdot2^i\) (這個數字是此數列中的第 \(i+5\) 項)

第 2 題：

對於非負整數 \(i\)，第 \(i+1\) 列的數字即為 \(\displaystyle (x^2+x+1)^i\) 以 \(x\) 的升冪排列之後的係數。

以數學歸納法證明之。

1. 當 \(i=0\) 時， \(\displaystyle \left(x^2+x+1\right)^0=1\) 為第 \(1\) 列的數字，成立。

2. 假設當 \(i=k\) 時，\(\displaystyle \left(x^2+x+1\right)^k=\sum_{t=0}^{2k}a_t x^t\)

　 其中 \(<a_t>_{t=0}^{2k}\) 為題述第 \(k\) 列數字的數列，

　 則當 \(i=k+1\) 時，

　 \(\displaystyle \left(x^2+x+1\right)^{k+1}=\left(\sum_{t=0}^{2k}a_t x^t\right)\left(x^2+x+1\right)\)

　 \(\displaystyle =\sum_{t=0}^{2k}a_t x^{t+2}+\sum_{t=0}^{2k}a_t x^{t+1}+\sum_{t=0}^{2k}a_t x^t\)

　 \(\displaystyle =\sum_{t=2}^{2k+2}a_{t-2} x^t+\sum_{t=1}^{2k+1}a_{t-1} x^t+\sum_{t=0}^{2k}a_t x^t\)

　 \(\displaystyle =\left(a_{2k-1}x^{2k+1}+a_{2k}x^{2k+2}+\sum_{t=2}^{2k}a_{t-2} x^t\right)+\left(a_0x+a_{2k}x^{2k+1}+\sum_{t=2}^{2k}a_{t-1} x^t\right)+\left(a_0+a_1x+\sum_{t=2}^{2k}a_t x^t\right)\)

　 \(\displaystyle =a_0+\left(a_0+a_1\right)x+\sum_{t=2}^{2k}\left(a_{t-2}+a_{t-1}+a_t\right)x^t+\left(a_{2k-1}+a_{2k}\right)x^{2k+1}+a_{2k}x^{2k+2}\)

　 依照題述規律，可知 \(\displaystyle \left(x^2+x+1\right)^{k+1}\) 以 \(x\) 的升冪排列之後的係數亦為題述第 \(k+1\) 列數字的數列，亦成立。

由 1. & 2. 及數學歸納法原理，可知對於任意非負整數 \(i\)，第 \(i+1\) 列的數字即為 \(\displaystyle (x^2+x+1)^i\) 以 \(x\) 的升冪排列之後的係數。



因此，將 \(x=1\) 帶入 \(\displaystyle (x^2+x+1)^i\) 即可得第 \(i+1\) 列的數字和為 \(3^i\) 。

觀察前後列規律而得。