2013澳洲AMC

邊長、格子點：\( x^{2}+y^{2}=29^{2} \) 之正整數解為 \( x=20,y=21 \) 或 \( x=21,y=20 \)

不失一般性(平移、對稱) 可假設，其中兩點坐標為 \( A(0,0),B(20,21) \)

由面積為 348，可知另一頂點 C 在 \( 21x-20y=\pm2\cdot348 \)

其整數解有 \( (x,y)=\pm(16+20n,-18+21n) \)，這些格子點兩兩對稱於 \( \overline{AB} \) 中點，與 A, B 所連成的三角形全等，

故僅需檢驗一組 \( (x,y)=(16+20n,-18+21n) \), n 太大或太小時，圖形上明顯 \( \angle A \) 或 \( \angle B \) 為鈍角，

故僅需檢驗 n=0,1 (其它圖一看，就鈍角)。兩者僅 \( C(36,3) \) 合，因此 \( \overline{AC}=\sqrt{36^{2}+3^{2}}=3\sqrt{145}
, \overline{BC}=\sqrt{16^{2}+18^{2}}=2\sqrt{145} \)，故所求 \( =6\cdot145=870 \)。