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三角函數:a+b+c=0,求 cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)的最小值?

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引用:
原帖由 weiye 於 2013-9-28 12:45 AM 發表
已知 \(a+b+c=0\),求 \(\cos^2 a+\cos^2 b+\cos^2 c\) 的最小值為何?



小弟沒有答案(因為是看到其他題目,隨便亂想修改的題目~)


或是把上題變形,換個方式改問:

已知 \(x+y+z=0\),求 \(\cos x+\cos y+\cos z\) 的最小值為 ...
第一個答案是0.75
第二個答案是-1.5

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第一題利用第二題來解:
如果已證第二題,可將題目改成
已知2a+2b+2c=0,則cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)的最小值為-3/2-------------(*)

現在回到第一題來
(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2
=(3/2) + (1/2)* [cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)]
>=(3/2) +(1/2)*(-3/2)    (由(*)得)
=3/4

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weiye兄
如果將第一題改成
已知x_1+x_2+.......+x_{2n+1}=0 ,求[cos(x_1)]^2+[cos(x_2)]^2+..............+[cos(x_{2n+1})]^2的最小值
這個答案會是什麼呢?
(是否可以寫出n的函數?)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2013-9-29 12:42 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 weiye 於 2013-9-29 02:10 PM 發表
變形後也就是問~

設 \(n\) 為正整數,已知 \(a_1+a_2+\cdots+a_n=0\),求 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值為何?

當 \(n\) 為偶數時,可以容易得知 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值為  ...
(1)針對 k=cos a_1+cos a_2+..........+cos a_n最小值猜想:
n為正奇數時,當n越大時,k值是遞減的
(i)n=3 ,k= -1.5
(ii)n>=5時 ,-n<k<-n+1
也就是[k]= -n ( [k]表示小於等於k的最大整數)
會不會k值趨近於-n?

(2)針對 t=(cos a_1)^2+(cos a_2)^2+..........+(cos a_n)^2最小值猜想:
n為正奇數時,當n越大時,t值是遞減的
會不會t值會趨近於0?
(目前猜測 3/(n+1) - t < 0.03 ,當n>=3  )

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回復 10# tsusy 的帖子

n=2k+1 ,有最小值-n*cos(2k*Pi/(2k+1))
好像有點問題
當k>=2時 ,-n*cos(2k*Pi/(2k+1))會大於0
應再加個負號~

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