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三角函數:a+b+c=0,求 cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)的最小值?

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三角函數:a+b+c=0,求 cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)的最小值?

已知 \(a+b+c=0\),求 \(\cos^2 a+\cos^2 b+\cos^2 c\) 的最小值為何?



小弟沒有答案(因為是看到其他題目,隨便亂想修改的題目~)


或是把上題變形,換個方式改問:

已知 \(x+y+z=0\),求 \(\cos x+\cos y+\cos z\) 的最小值為何?(當然答案就不一樣了~)

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回復 3# tsusy, 4# Ellipse 的帖子

感謝各位,讚。 :-D

另外,有個小打字錯誤~ 不過無傷大雅~

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順便祝大家教師節快樂~哈哈!

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回復 6# Ellipse 的帖子

變形後也就是問~

設 \(n\) 為正整數,已知 \(a_1+a_2+\cdots+a_n=0\),求 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值為何?

當 \(n\) 為偶數時,可以容易得知 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值為 \(-n\),最大值為 \(n\)。

當 \(n\) 為奇數時,?

我沒有想法耶,不知道 ellipse 老師有沒有蝦咪猜測呢?

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回復 8# Ellipse 的帖子

令 \(k=\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n\) 的最小值

當 \(n=3\) 時,由之前的證明可知存在三實數 \(\alpha,\beta,\gamma\)

       使得 \(a_1=\alpha, a_2=\beta, a_3=\gamma\) 滿足 \(a_1+a_2+a_3=0\)

       \(\cos a_1+\cos a_2+\cos a_3=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\frac{-3}{2}\)

當 \(n>3\) 且 \(n\) 為奇數時,因為可取

  \(a_1=\alpha, a_2=\beta, a_3=\gamma\),\(a_i=-\pi,a_j=\pi\) 其中 \(i\) 為大於 \(3\) 的偶數,\(j\) 為大於 \(3\) 的奇數,

  使得 \(a_1+a_2+\cdots+a_n=0\) 且 \(\cos a_1+\cos a_2+\cdots+\cos a_n=-\frac{3}{2}+\left(n-3\right)=\frac{3}{2}-n\)

  可知 \(\displaystyle-n\leq k\leq \frac{3}{2}-n\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{k}{-n}=1\)

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來求教了~
引用:
原帖由 tsusy 於 2013-9-29 09:15 PM 發表
由 (1)(2) 知,若有最小值,必發生在 \( a_{i}=a_j =\frac{2k\pi}{n}, \forall i,j\) 這類的點上。  ...
請問上面這句話是可以證明,或是猜測呢?

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