發新話題
打印

102玉里高中

回復 1# 八神庵 的帖子

選擇題第九題
試問滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解?(A)2 (B)3 (C)33 (D)35 (E)99
[解答]

\( (m+n)^3=m^3+n^3+3mn(m+n) \)

⇒\( m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n) \)

\( (m+n)^3-3mn(m+n)-33^3-3(-33)mn=0 \)

⇒\( (m+n-33)((m+n)^2+(m+n)(33)+33^2)-3mn(m+n-33)=0 \)

⇒\( (m+n-33)\{\; m^2+2mn+n^2+33m+33n+33^2-3mn \}\;=0 \)

⇒\( \displaystyle \frac{1}{2}(m+n-33) \{\; 2m^2-2mn+2n^2+66m+66n+2(33)^2 \}\;=0 \)

⇒\( \displaystyle \frac{1}{2}(m+n-33)\{\; (m-n)^2+(m+33)^2+(n+33)^2 \}\;=0 \)

⇒\( m+n=33 \)有34組 或 \( m=n \)且\( m=-33 \)且\( n=-33 \)有1組

共35組

試問滿足\(m^3+n^3+99mn=33^3\)且\(m \cdot n\ge 0\)的序對\((m,n)\)有   組整數解。
(110臺南女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3503&page=1#pid22511)

若\(m,n\)為整數且\(mn\ge 0\),則滿足\(m^3+n^3+93mn=31^3\)的整數數對\((m,n)\)有   組。
(110高中數學能力競賽北一區筆試二,https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

TOP

選擇題第四題

附件

圖片1.jpg (46.61 KB)

2014-4-11 20:01

選擇題第四題

圖片1.jpg

TOP

發新話題