第 1 題：

\(\displaystyle\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx}=0\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\)


令 \((a,b)\) 為 \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) 上的動點，

試解 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle\left(-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{b-0}{a-\left(-26\right)}=-1\\ \sqrt{a}+\sqrt{b}=4\end{array}\right.\)

（可令 \(t=\sqrt{a}\)，最後會解得 \(\left(t-1\right)\left(t^2-5t+32\right)=0\)）

可得 \(a=1, b=9\)

因此，可得所求之最短距離為 \(\sqrt{\left(1-(-26)\right)^2+\left(9-0\right)^2}=9\sqrt{10}.\)

第 2 題：

由橢圓切線的光學性質，可知 \((1,a,b)\) 會平分 \(\vec{AC}\) 與 \(\vec{CB}\)（平移至始端相合之後）的夾角，

因此 \((1,a,b)\) 會平行 \(\displaystyle \frac{\vec{AC}}{\left|\vec{AC}\right|}+\frac{\vec{CB}}{\left|\vec{CB}\right|}=\frac{1}{5}(0,3,-4)+\frac{1}{3}(-2,1,2)=(\frac{-2}{3},\frac{14}{15},\frac{-2}{15})\)

可得 \(\displaystyle a=\frac{-7}{5}, b=\frac{1}{5}\)