兩者有意義 \( \Rightarrow t>0 \)

算幾不等式有 \( \frac{t+1}{2} \geq \sqrt{t} \)

若 \( a>1 \)，則 \( \frac12 \log_a t \leq \log_a \frac{t+1}{2} \)

若 \( 0<a<1 \)，則 \( \frac12 \log_a t \geq \log_a \frac{t+1}{2} \)

以上等號僅在 \( t = 1 \) 時，成立

利用定理：設 \( f_n: R \to R \) 皆為連續函數，\( K \subset R \) 為一緊緻集 (compact set)，若 \( f_n \) 在 \( K \)  上均勻收斂至  \( f \)，則 \( f\big|_K \) 為連續函數。

利用 Ratio Test 的證明方式，可以得到：對任意 \( r> 0, K = [-r,r], r>0 \)，\( f_n \) 皆均勻收至 \( f \)，故 \( f\big|_K \) 皆為連函數，對任意 \( r>0 \)

因此 \( f: R\to R \) 亦為連續函數。