附上 word 檔試題及答案，如附件。

填充第 4 題：

\(2\left(10x+13\right)^2\left(5x+8\right)\left(x+1\right)=1\)

\(\Rightarrow 2\left(100x^2+260x+169\right)\left(5x^2+13x+8\right)-1=0\)

令 \(t=5x^2+13x\)

\(\Rightarrow 2\left(20t+169\right)\left(t+8\right)-1=0\)

\(\Rightarrow \left(2t+17\right)\left(20t+159\right)=0\)

\(\Rightarrow \left(10x^2+26x+17\right)\left(100x^2+260x+159\right)=0\)


檢查判別式，可知 \(10x^2+26x+17=0\) 有兩虛根且 \(100x^2+260x+159=0\) 有兩實根

因為 \(pq+rs\) 為實數，可知 \((p,q)\) 與 \((r,s)\) 分別為上述兩方程式的根（或是　 \((r,s)\) 與 \((p,q)\) ），  

\(\displaystyle pq+rs=\frac{17}{10}+\frac{159}{100}=\frac{329}{100}.\)

計算證明題第 2 題：

設 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 皆為不超過 \(n\) 次的多項式，

且都通過 \((x_0,y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)\)

令 \(h(x)=f(x)-g(x)\)

則 \(h(x)\) 為一個不超過 \(n\) 次的多項式，

且 \(h(x_i)=f(x_i)-g(x_i)=y_i-y_i=0, \forall i=0,1,2,\cdots, n\)

可知不超過 \(n\) 次的多項式方程式 \(h(x)=0\) 有 \(n+1\) 個相異實根

由代數基本定理可推知，

\(\Rightarrow h(x)\) 為零多項式

（或是由 \(h(x_i)=0, \forall i=1,2,\cdots, n\) 且 \(h\) 次數不超過 \(n\) 次

　可令 \(h(x)=k(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\)

　再由 \(h(x_0)=0\) 且 \((x_0-x_1)(x_0-x_2)\cdots (x_0-x_n)\) 非零

　可知 \(k=0\Rightarrow h(x)\) 為零多項式）

故 \(f(x)-g(x)=0\) 恆成立

亦即 \(f(x)=g(x)\) 恆成立

第 8 題：

先分析題目：

\(A\) 落在直線 \(y=\sqrt{3} x\) 上

\(B\) 落在直線 \(y=0\) 上

若將圓 \(C:(x-3)^2+(y-4)^2=1\) 對稱 \(y=\sqrt{3} x\) 直線可得圓 \(C_1\)

若將圓 \(C:(x-3)^2+(y-4)^2=1\) 對稱 \(y=0\) 直線可得圓 \(C_2\)

\(C\) 上的點 \(P\) 對稱 \(y=\sqrt{3} x\) 直線可得點 \(P_1\)

\(C\) 上的點 \(P\) 對稱 \(y=0\) 直線可得圓 \(P_2\)

\(\triangle PAB\) 周長＝ \(\overline{PA}+\overline{AB}+\overline{BP}\)

　　　　　　　　　　　＝ \(\overline{P_1A}+\overline{AB}+\overline{BP_2}\)

　　　　　　　　　　　\(\geq\overline{P_1P_2}\)

不過....

寫到一半發現 thepiano 老師已經先寫完了，而且寫得更簡潔。（所以後半段就不寫了...）

在 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3079

填充第 7 題：

第 7 題：

旋轉完後，看起來會像是兩個有相同底面的直圓錐且底面接合在一起，

底面圓的半徑＝\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

旋轉體的體積＝\(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\left(\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\cdot\sqrt{x^2+y^2}\)

　　　　　\(\displaystyle =\frac{4\pi}{3\sqrt{x^2+y^2}}\)

已知三角形面積 \(\displaystyle \frac{1}{2}xy=1\Rightarrow xy=2\)

由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}\geq\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}\geq2\)

\(\Rightarrow\) 旋轉體的體積 \(\displaystyle \frac{4\pi}{3\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{2\pi}{3}\)

可知當直角三角形的兩股相等時，旋轉體體積會有最大值為 \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}.\)

填充第 9 題：

對於七題中的任意一題而言，

該題被答對的機率＝\(\displaystyle \frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{25}{49}\)

該題答對數目的的期望值＝\(\displaystyle 1\cdot\frac{25}{49}=\frac{25}{49}\)

此七題被答對數目的期望值＝\(\displaystyle 7\cdot\frac{25}{49}=\frac{25}{7}\)

填充第 2 題：

請參考

https://math.pro/db/thread-62-1-4.html

https://math.pro/db/thread-401-1-1.html

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=2#pid2916

另外，不久前看過寸絲用二項分配（\(X\sim B(n, 1/2)\)

　　　求 \(2^n\cdot E(X^2)=2^n\cdot \left(Var(X)+E^2(X)\right)\) 來解這個的作法，更快，但是我忘了是哪一篇了。

填充第 2 題：

見 thepiano 老師在美夢成真的解答

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=9684#p9684

該題被答對的機率＝(該題正確答案是○的機率)*(作答者該題答○的機率)＋(該題正確答案是×的機率)*(作答者該題答×的機率)

填充第 6 題：

易知 \(f(1)=\alpha+\beta=1>0,   f(2)=\left(\alpha+\beta\right)^2-2\alpha\beta=3>0\)

且 \(\displaystyle f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0,\forall n\in\mathbb{N}\)

\(\Rightarrow f(n+2)=f(n+1)+f(n)>0,\forall n\in\mathbb{N}\)


令 \(\displaystyle p=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}\)

則 \(\displaystyle f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0\Rightarrow \frac{f(n+2)}{f(n+1)}-1-\frac{f(n)}{f(n+1)}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p-1+\frac{1}{p}=0\Rightarrow p^2-p-1=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

因為 \(\displaystyle f(n)>0,\forall n\in\mathbb{N}\)，所以 \(p\geq0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

註：因為是填充題，所以略掉了 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}\) 的存在性討論。