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f(x)為非負的整係數多項式且f(1)=6,f(7)=3438,求f(2)

f(x)為非負的整係數多項式且f(1)=6,f(7)=3438,求f(2)

題目: \(f(x)\) 為 \(n\) 次整係數非負整係數多項式,滿足 \(f(1)=6\),\(f(7)=3438\),求 \(f(2)\)

解答:

令 \(f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\)

因 \(f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1+a_0=6\) 且 \(a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\) 皆為非負整數,

可知 \(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}\)

因為 \(f(7)=a_n\cdot7^n+a_{n-1}\cdot7^{n-1}+\cdots a_1\cdot7+a_0=3438\)
  (應該看到了~~~七進位表示法~)

可得

\(3438\div 7 = 491\cdots 1\Rightarrow a_0=1\)
\(491\div7=70\cdots1\Rightarrow a_1=1\)
\(70\div7=10\cdots0\Rightarrow a_2=0\)
\(10\div7=1\cdots3\Rightarrow a_3=3, a_4=1\)

故,\(f(x)=x^4+3x^3+x+1\Rightarrow f(2)=43\)

多喝水。

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