請教1999TRML一題（分式型遞迴數列）
題目是求a_1999...我想試著求a_n...但是仿照高中競賽教程P317的方法..死在半路了(如附件)
還請不吝指教...
另外想請教只要是分式型的遞迴...就是用高中競賽教程P317的方法嗎?
這一題我用不動點的方式來做.令x=(1+x)/(1-x)...解出x=i...後續也不會做了@@.
感謝指教!~~
\( a_1=-2 \)，\( \displaystyle a_n=\frac{1+a_{n-1}}{1-a_{n-1}} \)，\( \forall n \in N \)，欲求一般式。
sol:
\( \displaystyle a_n=1+\frac{2a_{n-1}}{1-a_{n-1}} \Rightarrow a_{n-1}=\frac{-2a_{n-1}}{a_{n-1}-1} \)－－－(＊)
Let \( \displaystyle b_n=a_n-1 \Rightarrow b_n=\frac{-2(1+b_{n-1})}{b_{n-1}}=\frac{-2}{b_{n-1}}-2 \)
Let \( \displaystyle b_n=\frac{q_n}{p_n} \Rightarrow \frac{q_n}{p_n}=\frac{-2p_{n-1}}{q_{n-1}}-2=\frac{-2p_{n-1}-2q_{n-1}}{q_{n-1}} \)
Let \( \cases{p_n=q_{n-1} \cr q_n=-2p_{n-1}-2q_{n-1}} \Rightarrow q_n=-2q_{n-2}-2q_{n-1} \)
\( x^2+2x+2=0 \Rightarrow x=-1+-i \)
\( \displaystyle b_1=a_1-1=-3=\frac{-2}{b_0}-2 \Rightarrow b_0=2=\frac{q_0}{p_0} \)
取\( p_0=1,q_0=2 \Rightarrow \matrix{p_1=q_0=2 \cr q_1=-2p_0-2q_0=-2-4=-6} \)
\( q_n=\alpha(-1+i)^n+\beta(-1-i)^n \)
\( q_1=\alpha(-1+i)^1+\beta(-1-i)^1=(-\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)i=-6 \)
\( q_2=\alpha(-1+i)^2+\beta(-1-i)^2=(-2 \alpha+2 \beta)i \)
\( q_0=\alpha+\beta=2 \)
[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-2-9 01:59 PM 編輯 ]
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