10. 承 agan325

\( a, b \) 為方程式之二實根，因此 \( x^{2}-Ax+B=0\Rightarrow A^{2}-4B\geq0 \)

又 \( A^{2} = 16+2B \) 故得 \( B\leq8 \)

又 \( 44=A(16-B) \Rightarrow A=\frac{44}{16-B} \Rightarrow0<A\leq\frac{44}{8} \)。

而 \( A \) 的另兩根為 \( -1\pm\sqrt{45} \)，不在以上範圍，故不合。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-12-13 09:54 PM 編輯 ]

9. \( \displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^{2}\sin x}=\lim\limits _{x\to0}\frac{1-\cos x}{2x\sin x+x^{2}\cos x}=\lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x}{2\sin x+4x\cos x-x^{2}\sin x}=\lim\limits _{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}}{2\frac{\sin x}{x}+4\cos x-x\sin x}=\frac{1}{2+4}=\frac{1}{6} \)。

或者利用 \( \sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}) \)，亦可得 \( \displaystyle \frac{x-\sin x}{x^{2}\sin x}=\frac{\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}{x^{3}+o(x^{3})}\to\frac{1}{6} \), as \( x \to 0 \)

11. 令 \( \vec{u}=\vec{OA}, \vec{v}=\vec{OA}+\vec{OB}, \vec{w}=-(\vec{u}+\vec{v}) \)，則 \( \vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1 \)，且三向量首尾相連時，形成一正三角形。

因此 \( \vec{u} \) 和 \( \vec{v} \) 之夾角為 \( 120^{\circ} \)。而 \( \vec{AB}=\vec{v}-2\vec{u} \)，故 \( |\vec{AB}|^{2}=(\vec{v}-2\vec{u})\cdot(\vec{v}-2\vec{u}) \Rightarrow|\vec{AB}|=\sqrt{7} \)。