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102師大附中二招

回復 3# smallwhite 的帖子

證明 1.

對 \( k\in\mathbb{N} \),\( \frac{k}{k+1}<\frac{k+1}{k+2} \),故 \( \left(\prod\limits _{k=1}^{671}\frac{3k-1}{3k}\right)^{3}<\prod\limits _{k=3}^{2015}\frac{k-1}{k}=\frac{2}{2015}<\frac{1}{1000} \)。

三次根號得 \( \prod\limits _{k=1}^{671}\frac{3k-1}{3k}<\frac{1}{10} \)。
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回復 9# 阿光 的帖子

102附中計算2. 不高明暴力證明,要是考試的時候,應該沒有機會暴出來吧!?

令 \( \overline{BC}=a, \overline{CA}=b, \overline{AB}=c, s=\frac{a+b+c}{2}, \overline{AX}=x, \overline{AY}=y \)。

則 \( \overline{XY}=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy\cos A}=(s-a-x)+(s-a-y) \)。

平方整理得 \( (s-a)^{2}-(s-a)(x+y)+xy\cdot\frac{1+\cos A}{2}=0 \),其中由餘弦定理可得 \( \frac{1+\cos A}{2}=\frac{s(s-a)}{bc} \),故可得\( (s-a)bc-bc(x+y)+sxy=0 \)。

\(\displaystyle \frac{\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}}{\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}}+\frac{\frac{\overline{AY}}{\overline{YB}}}{\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}}=\frac{\frac{x}{c-x}}{\frac{s-a}{s-b}}+\frac{\frac{y}{b-y}}{\frac{s-a}{s-c}}=\frac{(s-b)(b-y)x+(s-c)(c-x)y}{(s-a)(c-x)(b-y)} \)。

其分子乘開得 \( (s-b)bx+(s-c)cy-(s-b+s-c)xy=(s-b)bx+(s-c)cy-axy \)。

分母乘開得 \( \begin{aligned}= & (s-a)bc-(s-a)bx-(s-a)cy+(s-a)xy\\
= & \left[bc(x+y)-sxy\right]-(s-a)bx-(s-a)cy+(s-a)xy\\
= & (s-b)bx+(s-c)cy-axy
\end{aligned} \)

得分子 =  分母,因此 \( \displaystyle \frac{\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}}{\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}}+\frac{\frac{\overline{AY}}{\overline{YB}}}{\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}}=1 \)。
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回復 13# Jacob 的帖子

填充 1. 作法同:試求 \( y = \sin x \) 與 \( y = \frac18 x \) 兩函數圖形的交點個數。

不過這題的折線都是正的,比較接近 \( y = |\sin x|\)
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回復 15# Jacob 的帖子

二.1. 參考 101 臺南二中

\( \tan149^\circ \tan29^\circ +\tan 89^\circ \tan 149^\circ+ \tan89^\circ \tan 29^\circ = \) ?
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