請問計算第三題,答案為232那一題要怎麼算呢??
謝謝!

計算3.
設\(5^{100}=a_n \cdot 2^n+a_{n-1} \cdot 2^{n-1}+a_{n-2} \cdot 2^{n-2}+\ldots+a_1 \cdot 2+a_0\)，其中\( n \in N \)，\( a_i \in \{\;0,1 \}\; \)，\(i=0,1,2,\ldots,n\)，但\(a_n \ne 0\)，求\(n\)之值。

計算第 3 題：

思考：題目就是把 \(5^{100}\) 以二進位表示之後，此二進位表示法為 \(n+1\) 位數字，求 \(n\) 之值。

解題：

\(\displaystyle \log_2 5^{100}=100\log_2 5 = 100\cdot\frac{1-\log_{10} 2}{\log_{10} 2}\)

　　\(\displaystyle \approx 100\cdot \frac{1-0.3010}{0.3010}\approx 232.225\)

　　\(=232+0.225\)

　　\(=\log_2 2^{232} + \log_2 a\)　，其中 \(1<a<2\)

\(\Rightarrow 5^{100}=a\cdot 2^{232}\) （其中 \(1<a<2\)）

故，\(n=232\)

註： 依題意，可知 \(2^n\leq 5^{100}<2^{n+1}\)

想請教填充 2 和 5 以及 計算2 怎麼算?
另外計算1.我看了寸絲的解答仍然不太懂@@.---它的微分是在根號內ㄟ?這樣怎麼算
感謝~

填充2.
若不等式\(5x^2-log_a x<0\)在\( \displaystyle x \in (0,\frac{1}{5}) \)內恆成立，則\( a \)的取值範圍為　　　。

填充5.
若函數\(f(x)=sin 2x+2a cos^2 x-a\)(\(a\)為實數)的圖形對於直線\( \displaystyle x=-\frac{\pi}{8} \)對稱，則\( a= \)　　　。

計算2.
\( A(7,6,3) \)，\( B(5,-1,2) \)，\(L\)：\( \displaystyle \frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2} \)，\(P\)為\(L\)上的動點，求使得\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值的\(P\)點坐標。

填充第 5 題：

\(\displaystyle f(x)=\sin2x+2a\cos^2 x-a=\sin2x+2a\cdot\frac{1+\cos2x}{2}-a\)

　　\(\displaystyle =\sin2x+a\cos2x=\sqrt{1+a^2}\sin\left(2x+\theta\right)\)

其中 \(\displaystyle \sin\theta=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}, \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\)

因為正弦函數 \(y=\sin x\) 的圖形對稱於 \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) 其中 \(k\) 為任意整數

可知 \(f(x)\) 的圖形對稱於 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)-\theta\right)\)

依題意，

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{-\pi}{8}=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)-\theta\right)\)，其中 \(k\) 為整數

\(\displaystyle \Rightarrow \theta=k\pi+\frac{3\pi}{4}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a=\tan\theta=\tan\left(k\pi+\frac{3\pi}{4}\right)=-1\)

計算題第 2 題：
\(A(7,6,3)\)，\(B(5,-1,2)\)，\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2}\)，\(P\)為\(L\)上的動點，求使得\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值的\(P\)點坐標。
[解答]
令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)

則

\(\displaystyle \overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(7-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(6-t\right)^2+\left(3-\left(3-2t\right)\right)^2}+\sqrt{\left(5-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(-1-t\right)^2+\left(2-\left(3-2t\right)\right)^2}\)

　　\(\displaystyle =\sqrt{9t^2-36t+72}+\sqrt{9t^2-18t+18}\)

　　\(\displaystyle =3\left(\sqrt{\left(t-2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-1\right)^2+1^2}\right)\)

令 \(Q(t,0),A(2,2),B(1,-1)\)

則 \(\displaystyle \overline{QA}+\overline{QB}=\sqrt{\left(t-2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-1\right)^2+1^2}\)

可知當 \(Q,A,B\) 共線時，\(\overline{QA}+\overline{QB}\) 有最小值，

此時 \(\displaystyle t=\frac{4}{3}\)

即當 \(\displaystyle P(\frac{11}{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{3})\) 時，\(\overline{PA}+\overline{PB}\) 會有最小值。

填充第 2 題：
若不等式\(5x^2-log_a x<0\)在\(\displaystyle x \in \frac{1}{5}\)內恆成立，則\(a\)的取值範例為　　　。
[解答]
當 \(a>1\) 時，因為 \(y=5x^2\) 通過原點且當 \(x\to0^+\)時，\(y=\log_a x\to -\infty\)

qq1.png (9.36 KB)

2013-7-17 23:06

所以顯然 \(\displaystyle a>1\) 題述之不等式必然不成立。




當 \(0<a<b<1\) 時，因為 \(\displaystyle \log_a x<\log_b x, \forall 0<x<1\)

qq2.png (40.54 KB)

2013-7-17 23:15

因此，只需要確認當 \(a\) 值為何時，會使得 \(y=5x^2\) 與 \(y=\log_a x\) 交點的 \(x\) 坐標是 \(\frac{1}{5}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \log_a\left(\frac{1}{5}\right)=5\left(\frac{1}{5}\right)^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow a^\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\Rightarrow a=\frac{1}{5^5}=\frac{1}{3125}\)

即當 \(\displaystyle \frac{1}{3125}\leq a<1\) 時，恆有 \(\displaystyle 5x^2<\log_a x, \forall x\in\left(0,\frac{1}{5}\right)\)

謝謝瑋岳老師~
只是填充5 我有試著用\(\displaystyle f(-\frac{\pi}{8}+t)=f(-\frac{\pi}{8}-t)\)下去做.但是做不出來...是這題無法用這方法做嗎?
要怎麼知道什麼題目可以用我講的這種方法做..什麼題目不行呢?
謝謝指教~

填充5.
若函數\(f(x)=sin2x+2acos^2x-a\)(\(a\)為實數)的圖形對於直線\(\displaystyle x=-\frac{\pi}{8}\)對稱，則\(a=\)　　　。
[解答]
參考看看~
令\( f(u)=sin u+a cos u \)對稱於\( \displaystyle u=-\frac{\pi}{4} \)，則\( \displaystyle f(-\frac{u}{4}+u)=f(-\frac{\pi}{4}-u) \)

\( \displaystyle  \Rightarrow sin(-\frac{\pi}{4}+u)-sin(-\frac{\pi}{4}-u)=a \cdot [cos(-\frac{\pi}{4}-u)-cos(-\frac{\pi}{4}+u)] \)

\( \displaystyle \Rightarrow 2 cos(-\frac{\pi}{4})sin u=-2 a sin(-\frac{\pi}{4})sin(-u) \)

\( \displaystyle \Rightarrow a=cot(-\frac{\pi}{4})=-1 \)

請教老師，是如何知道\( f(u)=sinu + acosu \)?

兩倍角公式，但記號應該稍微注意一下，不要重複用 \( f \)