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102竹東高中

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回復 8# ilikemath 的帖子

計算1.
設曲線\( y=f(x) \)(\( x \ge 0 \))過點\((0,0)\),且對於任意\(a>0\),此曲線在\(x=0\)與\(x=a\)間的弧長為\( \displaystyle \frac{2}{3}\Bigg[\; (1+a)^{\frac{3}{2}}-1 \Bigg]\; \)。若對於所有\( x \ge 0 \),都有\( f'(x) \le 0 \),則\( f(x)= \)?
[解答]
曲線長 \( = \int_0^a \sqrt{1+(f'(x))^2} dx\),對 a 微分,用微積分基本定理得

\( (f'(a))^2 = a \),又 \( f'(a)\leq 0 \) 且 \( f(0) = 0 \) 可得 \( f(x) = -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \)
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回復 10# 阿光 的帖子

證明2.
請分別利用數學歸納法(9%)與算幾不等式(5%)
證明:設\(n\)為大於1的正整數,不等式\(2^n>1+n \sqrt{2^{n-1}}\)
[解答]
算幾不等式
注意 \( 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1 \), \( n\in\mathbb{N} \)。

由算幾不等式有 \( \frac{2^{n}+1}{n}=\frac{1+2+\ldots+2^{n-1}}{n}\geq\sqrt[n]{1\cdot2\cdot2^{2}\cdots2^{n-1}}=2^{\frac{(n-1)n}{2n}}=\sqrt{2^{n-1}}\Rightarrow2^{n}\geq1+n\sqrt{2^{n-1}} \)。

數學歸納法
若 \( n=2 \), 檢查 \(2^{2}=4, 1+2\sqrt{2}\approx3.8, 4>3.8 \),故命題於 \( n=2 \) 時成立。

若 \( n=3 \), 檢查 \( 2^{3}=8, 1+3\sqrt{2^{2}}=7, 8>7 \),故命題於 \( n=3 \) 時亦成立。

設 \( n=k \) (\( k\geq3 \)) 時成立,即 \( 2^{k}\geq1+k\sqrt{2^{k-1}} \)。

而 \( 2^{k+1}=2\cdot2^{k}\geq2+2k\sqrt{2^{k-1}}\geq1+\sqrt{2}k\sqrt{2^{k}}\geq1+(k+1)\sqrt{2^{k}} \),因此 \( n=k+1 \) 時亦成立。

由數學歸納法得證。
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回復 12# arend 的帖子

填充3.
在銳角\( \Delta ABC \)中,\( \overline{AD} \)垂直\(\overline{BC}\)於\(D\),\(\overline{CE}\)垂直\(\overline{AB}\)於\(E\)。以\(\overline{DE}\)為直徑畫圓,此圓與\(\overline{AB}\)交於另一點\(Q\)。若\(\overline{AC}=25\),\(\overline{AE}=7\),\(\overline{CD}=15\),則\(\overline{BQ}=\)   
[解答]
由垂直和畢氏定理可得 \( \overline{AD}=20 \), \( \overline{EC}=24 \)。

注意 \( \angle ADC=\angle AEC=90^{\circ} \Rightarrow AEDC \) 共圓 (以 \( \overline{AC} \) 為直徑的圓)。

由托勒密定理得 \( 20\cdot24=25\cdot\overline{ED}+7\cdot15  \Rightarrow\overline{ED}=15=\overline{CD} \),由此知 \( D \) 為直角 \( \triangle EBC \)  之斜邊 \( \overline{BC} \) 之中點且 \( \overline{DB}=\overline{DE}=\overline{DC}=15 \)。

而 \( Q \) 即為 \( D \) 對 \( \overline{BE} \) 作垂線之垂足 (半圓圓周角直角) (亦為 \( \overline{BE} \) 中點),故 \( \overline{BQ}=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\sqrt{30^{2}-24^{2}}=9 \)。
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回復 18# airfish37 的帖子

是非 1.
\(a>1\)時,\(y=a^x\)與\(y=log_a x\)的圖形對稱於直線\(y=x\)並且不會相交。
[解答]
反例不難湊,要有交點的話,圖形一定要穿過對稱軸 \( y = x \) (不然分隔兩邊就沒交點)

而圖形對稱,所以指數函數圖形和對數函數圖形會和 \( y = x \) 相交於同一點。

這個點的坐標設為 \( (x,x) \),則 \( a^x = x \Rightarrow a = x^{\frac1x} \)。

隨意選個 \( x =2 \), \( a = \sqrt{2} \),兩圖形就會交於 \( (2,2) \) 就是一組反例。
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回復 29# martinofncku 的帖子

兩倍角公式,但記號應該稍微注意一下,不要重複用 \( f \)
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回復 36# eyeready 的帖子

是非5. 分解(好像也有人稱強迫分解)

\( a+b+ab = (a+1)(b+1)-1\)
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