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102竹東高中

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是非題3
設\( x \in R \),\( |\; 2x-3 |\;+|\; x-5 |\; \le |\;x+2 |\; \)恆成立,則\( (2x-3)(x-5) \le 0 \)。
三角不等式的方向掛錯了吧  (命題失誤?)
另外,想請教填充第3題^^
上善若水

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引用:
原帖由 wdemhueebhee 於 2013-7-2 08:44 PM 發表
證明1.
證明:對於所有正整數\(n\),\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (4-\frac{2}{k}) \)都是正整數。
[解答]
我只想到直接暴力乘開!! 也許有其他方法..
\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{4k-2}{k}=\frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \ldots (4n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}=2^n \times \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots (2n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}\times \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)} \)

\( \displaystyle =2^n \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots (2n)}{2^n (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n)^2}=\frac{(2n)!}{n! \cdot n!}=C_n^{2n} \)
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引用:
原帖由 wdemhueebhee 於 2013-7-3 03:40 PM 發表


再請教是非第一題, 謝謝
我是從資深老師口中得知:教師手冊有反例 @@ (參閱龍騰版教師手冊P.58)
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填充5.
若函數\(f(x)=sin2x+2acos^2x-a\)(\(a\)為實數)的圖形對於直線\(\displaystyle x=-\frac{\pi}{8}\)對稱,則\(a=\)   
[解答]
參考看看~
令\( f(u)=sin u+a cos u \)對稱於\( \displaystyle u=-\frac{\pi}{4} \),則\( \displaystyle f(-\frac{u}{4}+u)=f(-\frac{\pi}{4}-u) \)

\( \displaystyle  \Rightarrow sin(-\frac{\pi}{4}+u)-sin(-\frac{\pi}{4}-u)=a \cdot [cos(-\frac{\pi}{4}-u)-cos(-\frac{\pi}{4}+u)] \)

\( \displaystyle \Rightarrow 2 cos(-\frac{\pi}{4})sin u=-2 a sin(-\frac{\pi}{4})sin(-u) \)

\( \displaystyle \Rightarrow a=cot(-\frac{\pi}{4})=-1 \)
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