剛好逛到這個證明 法蘭克的數學世界外森比克(Weitzenböck's)不等式

101 台師大數學系的甄試也考過此題，題目如下：
設 \( \triangle ABC \) 的三邊長分別為 \( a, b, c \)，而 \( \triangle \) 是此三角形的面積。試證：

(a) \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)
(b) \( \sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C\leq\frac{9}{4} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-16 10:58 PM 編輯 ]

那我也補個證明好了：

先證 \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq\frac{4}{3}s^{2} \)，其中 \( s =\frac{a+b+c}{2} \)。

由柯西不等式有 \( \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)(1+1+1)\geq(2s)^{2}=4s^{2} \)，再除以 3 即得上式。

\( a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{4s^{2}}{9}\geq4\sqrt{\frac{2}{3}sabc} \) (算幾)。

由算幾不等式有 \( a=s-b+s-c\geq2\sqrt{(s-a)(s-b)}, b\geq2\sqrt{(s-a)(s-c)}, c\geq\sqrt{(s-a)(s-b)} \)。

因此 \( \frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq4\cdot\sqrt{\frac{16}{3}}\triangle \) (海龍公式) \( \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)。

第 4 題. \( \vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CP} \) 而 \( \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} \)，且 \( \overline{CP} \perp \overline{AB} \)

故 \( \vec{OP} \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB})\cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac12(\overline{OA}^2 - \overline{OB}^2) = 6 \)