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102松山家商

回復 2# tacokao 的帖子

填 2. 提示:同乘 \( xy \),移項,強迫分解

填 4. 用扣的沒錯...但是扣的不慢...基本上就是容斥原理:扣掉一個超過 9 的,加回兩個超過 9 的。沒有三個超過 9 的了。但要注意萬位數的地位和其它四個數字不一樣

填 10. 提示 \( 1000 \mid n^3 -n \),而 \( n^3 - n = (n-1)n(n+1) \),\( 1000 = 2^3\times 5^3 \)
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回復 5# arend 的帖子

填 7. 這題有印象,應該某年某校考過類題,如圖

其中 \( A', B' \) 是 \( A, B \) 對 \( \overline{AB} \) 邊上的高的對稱點

\( \overline{AB'}=\sqrt{4^{2}+11^{2}-2\cdot4\cdot11\cdot\frac{1}{8}}=3\sqrt{14} \)。

\( \cos(\pi-A)=\frac{126+16-121}{2\cdot3\sqrt{14}\cdot4}=\frac{\sqrt{14}}{16} \)

\( \overline{AB}=\overline{A'B'}=3\sqrt{14}-2\times4\cos(\pi-A)=\frac{5\sqrt{14}}{2} \)。

類題,101桃園高中:已知 \( \triangle ABC \) 中,\( \overline{AC}=4 \), \( \overline{BC}=6 \),若 \( \cos(A-B)=\frac{2}{3} \),則 \( \triangle ABC \) 的面積為 _______。

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1373&page=3#pid6740 ←我好像從這偷學的

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-3 05:32 PM 編輯 ]
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回復 12# 阿光 的帖子

證 2. 提示 \( p = 6m \pm 1 \),數學歸納法

證 3. 提示. 設 \( x,y > 0 \) 且 \( x+y < \pi \),則必有 \( \sin x < x \), \( \sin x+\sin y>\sin(\pi-x-y) \) (看作三角形的三內角,用三角不等式)

證 4. 提示. \( (7n+1)^{3}\equiv(7n+2)^{3}\equiv-(7n+3)^{3}\equiv(7n+4)^{3}\equiv-(7n+5)^{3}\equiv-(7n+6)^{3}\equiv1 \) (mod 7)
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回復 17# spiralshells 的帖子

填 1. 提示:裂項相消

回復 16# ilikemath 的帖子

填 6. 在班長是第 \( k+1 \) 個選位子的人條件下,選到該位置的機率是 \(\displaystyle \frac{C^{39}_k}{C^{40}_{k}} = \frac{40-k}{40} \)

故所求為其平均 (k=0~39) \( \frac{41}{80} \)

填 8. 顯然 \( 7^{2}<n<7^{3} \),因此 \(\displaystyle 32=\left[\frac{n}{7}\right]+\left[\frac{n}{49}\right]\leq\frac{n}{7}+\frac{n}{49}
  \Rightarrow196\leq n \)。
檢驗 \(\displaystyle \left[\frac{196}{7}\right]+\left[\frac{196}{49}\right]=28+4=32 \)。

顯然 \(\displaystyle \left[\frac{196+7}{7}\right]+\left[\frac{196+7}{49}\right]>32 \),再檢驗 \( \left[\frac{196+6}{7}\right]+\left[\frac{196+6}{49}\right]=32 \)。

故最大最小值可能分別為 \( 196, 202 \) (因 \( \left[\frac{n}{7}\right]+\left[\frac{n}{49}\right] \) 單調)

填 9. 令切點坐標為 \( (x,y) \),則 \( 0=(3x^{2}+2kx+1)(0-x)+x^{3}+kx^{2}+x+1 \) 恰有兩相異實數解。整理得 \( -2x^{3}-kx^{2}+1=0 \) ,

其倒根所滿足的方程式 \( t^{3}-kt-2=0 \),判別式為 \( 0 \),即 \( -4p^{3}-27q^{2}=4k^{3}-108=0 \Rightarrow k=3 \)。

類題.
1. 設過原點 \( (0,0) \) 有三條相異直線與 \( f(x)=x^{3}+kx^{2}+1 \) 相切,則實數 \( k \) 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)

107.4.23新增
三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\),若通過原點可做出此曲線的三條相異切線,求實數\(a\)的範圍為   
107中科實中國中部,https://math.pro/db/thread-2943-1-1.html

112.4.30
已知\(y=x^3+kx^2-1\)恰有三相異切線過\((0,0)\),求\(k\)的範圍。
(112六家高中,https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

2. 三次曲線 \( y=x^{3}+ax^{2}+x+1 \),若由原點可作三條相異之切線,試求實數 \( a \) 的範圍。(101中科實中)

3. \( a\in\mathbb{R} \),過 \( P(a,2) \) 作 \( y=f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 \) 的切線,若所作的切線恰有一條,求 \( a \) 的範圍。(97大里高中)

4. \( \Gamma:\, y=x^{2}-\frac{1}{2} \),已知 \( A(a,3) \) 可對 \( \Gamma \) 作三條法線,求 \( a \) 的範圍。(100豐原高中)
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