x³ - 3x - 4 = 0 之三根為 a, b, c, 求 (a-b)(b-c)(c-a) 之值。
我利用乘法公式來試解這題。
p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω) ; ω = (-1+√3 i)/2
由於本題根的排列順序不同,可得兩個等值異號的所求值,因此可任擇一順序,最後再掛 "±"。
由上式,知 x 的三次方程: x³ - 3qrx + (q³ + r³) = 0 之三根為 -q-r,-qω-rω²,-qω²-rω;
在本題 qr = 1,q³ + r³ = - 4,則 q³ - r³ = ±√[(- 4)² - 4] = ± 2√3
(a-b)(b-c)(c-a)
= (qω-q+rω²-r)(qω²-qω+rω-rω²)(q-qω²+r-rω) [以下三個"(...)"依序分別提出(ω-1),ω(ω-1),(ω-1)]
= ω(ω-1)³(q+rω+r)(q-r)(-q-qω-r)
= ω(ω-1)³(q-rω²)(q-r)(qω²-r) [以下最後一個"(...)"提出ω²]
= (ω-1)³(q-rω²)(q-r)(q-rω)
= (ω-1)³(q³ - r³) [直接乘,或用公式: q³ - r³ = (q-r)(q-rω)(q-rω²) ]
= (ω-1)³ * 2√3 (取一即可)
= 6√3*(-ω²+ω)
= 6√3*(√3 i)
= 18 i
故所求 = ±18 i