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例題:多項式方程式根與係數的關係,應用例題

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『設 p, q 是實數,且 a,b,c 是 x^3+px+q=0 的三根,則判別式=[(a-b)(b-c)(c-a)]^2=-4p^3-27q^2』
嘗試用凡德夢行列式,終於做出結論,要用到det(AB)=det(A)*det(B)
\({{\left( a-b \right)}^{2}}{{\left( b-c \right)}^{2}}{{\left( c-a \right)}^{2}}\)
=\(det
\left (\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{array} \right)  *
det
\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right)
\)
=\(det
\left(\begin{array}{ccc}
3 & s_1 & s_2 \\
s_1  & s_2 &  s_3 \\
s_2 &  s_3 &  s_4
\end{array}\right)
\)
=\(det
\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & -2p \\
0  & -2p &  -3q \\
-2p &  -3q &  2p^2
\end{array}\right) \)

\(Hence, result. \)
其中\(s_1=a+b+c, \;s_2=a^2+b^2+c^2,\; s_3=a^3+b^3+c^3,\; s_4=a^4+b^4+c^4 \)
橢圓兄的招都頗巧

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2015-6-18 11:34 PM 編輯 ]

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回復 11# whzzthr 的帖子

把方程推高一次方,再各代根得三等式,再用已知值就推的出來了。

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