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例題:多項式方程式根與係數的關係,應用例題

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x³ - 3x - 4 = 0 之三根為 a, b, c, 求 (a-b)(b-c)(c-a) 之值。

我利用乘法公式來試解這題。

p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω) ; ω = (-1+√3 i)/2

由於本題根的排列順序不同,可得兩個等值異號的所求值,因此可任擇一順序,最後再掛 "±"。

由上式,知 x 的三次方程: x³ - 3qrx + (q³ + r³) = 0 之三根為 -q-r,-qω-rω²,-qω²-rω;
在本題 qr = 1,q³ + r³ = - 4,則 q³ - r³ = ±√[(- 4)² - 4] = ± 2√3

  (a-b)(b-c)(c-a)

= (qω-q+rω²-r)(qω²-qω+rω-rω²)(q-qω²+r-rω)   [以下三個"(...)"依序分別提出(ω-1),ω(ω-1),(ω-1)]

= ω(ω-1)³(q+rω+r)(q-r)(-q-qω-r)

= ω(ω-1)³(q-rω²)(q-r)(qω²-r)   [以下最後一個"(...)"提出ω²]

= (ω-1)³(q-rω²)(q-r)(q-rω)

= (ω-1)³(q³ - r³)    [直接乘,或用公式: q³ - r³ = (q-r)(q-rω)(q-rω²) ]

= (ω-1)³ * 2√3 (取一即可)

= 6√3*(-ω²+ω)

= 6√3*(√3 i)

= 18 i

故所求 = ±18 i


[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-6-18 04:05 PM 編輯 ]

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回復 11# whzzthr 的帖子

p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p+q+r)(p+qω+rω²)(p+qω²+rω) ; ω = (-1+√3 i)/2
這個公式是不久前書上看到的,剛好這個題目浮上來,聯想到可以利用之。

至於怎麼導出它,書上沒提(當然乘開即知成立),不過應該可以:
p³ + q³ + r³ - 3pqr
= (p + q + r)(p² + q² + r² - pq - qr - rp)  (這個公式應該很常見)
= (p + q + r) [p² - (q + r)p + (q² + r² - qr)] (把後式整理為 p 的一元二次式型態)
以下套用一元二次方程式的公式解 p,即得 p = -qω-rω² 或 -qω²-rω
所以 p² + q² + r² - pq - qr - rp = (p+qω+rω²)(p+qω²+rω),完成。

" 由於本題根的排列順序不同,可得兩個等值異號的所求值,因此可任擇一順序,最後再掛 "±"。  "
因為減法沒有交換律,這個應該會想到。如果題目是一元二次方程式的兩根,應該很明朗吧! 可參考一樓 weiye 老師最後部分的說明。

" 由上式,知 x 的三次方程: x³ - 3qrx + (q³ + r³) = 0 之三根為 -q-r,-qω-rω²,-qω²-rω "
把最上面公式的 p 改寫為習慣上的 x,左式視為 x 的一元三次式,右式視為該三次式的因式分解,就可以得到這個結論了。

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